Mathématiques. Suites. Bac Asie 2025. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . ... . . . . .. .. ...... ... Partie A.  Soit (un) la suite définie par u0 = 30 et, pour tout entier naturel n,un+1 = 0,5 un +10. Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn = un −20.  1. Calculer les valeurs exactes de u1 et u2. u1 = 0,5 u0+10 = 0,5 x30+10 = 25. u2 = 0,5 u1+10 = 0,5 x25+10 = 22,5. 2. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,5. vn+1 = un+1 −20=0,5 un +10-20=0,5 un -10=0,5(un-20)=0,5 vn.   3. Exprimer vn en fonction de n pour tout n entier naturel. vn = v0 *0,5n =10 x0,5n.  4. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 20+10x 0,5n . un = vn +20 = 10 x0,5n+20. 5. Déterminer la limite de la suite (un). Justifier la réponse. Quand n tend vers +oo :0 < 0,5 <1 donc  0,5n tend vers zéro et par somme un tend vers 20. Partie B.  Soit (wn) la suite définie pour tout entier naturel n par :  w0 = 45 ; wn+1 = 0,5 wn + 0,5 un +7 1. Montrer que w1 = 44,5. w1 = 0,5 w0 + 0,5 u0 +7= 22,5 +15+7=44,5. On souhaite écrire une fonction suite, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme wn pour une valeur de n donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction suite def suite(n) :  U=30  W=45  for i in range (1,n+1) :  U=U/2+10  W=W/2+U/2+7  return W 2. L’exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme w1. Comment modifier la fonction suite afin que l’exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme wn ? La fonction calcule d'abord u1 avant w1. Il faut modifier l'ordre des calculs : W=W/2+U/2+7  U=U/2+10 3. a. Montrer, par récurrence sur n, que pour tout entier naturel n on a : wn = 10n *0,5n  +11*0,5n +34. Initialisation : w1 = 10 *0,5  +11*0,5 +34=44,5. Vrai. Hérédité : wn = 10n *0,5n  +11*0,5n +34 est supposé vrai. wn+1 = 0,5 wn + 0,5 un +7 . wn+1 = 0,5(10n *0,5n  +11*0,5n +34) + 0,5(10 x0,5n+20.) +7 . wn+1 =10n *0,5n+1  +11*0,5n+1+17+10 x0,5n+1+10+7. wn+1 =10(n+1) *0,5n+1  +11*0,5n+1+34. La propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier n.  b. On admet que pour tout entier naturel n > 4, on a : 0< 10n*0,5n < 10/ n . Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (wn)? Quand n tend vers +oo : 0 <0,5 < 1 ;  0,5n tend vers zéro ; par produit 10n*0,5n  tend vers zéro. wn = 10n *0,5n  +11*0,5n +34. Par somme des limites wn converge vers 34. ... =  = .... Un patient doit prendre toutes les heures une dose de 2 mL d’un médicament. On introduit la suite (un) telle que le terme un représente la quantité de médicament, exprimée en mL présente dans l’organisme immédiatement après n prises de médicament. On a u1 = 2 et pour tout entier naturel n strictement positif : un+1 = 2+0,8un. Partie A.  En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l’organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL.  1. Calculer la valeur u2. u2 = 2+0,8 u1 =2+0,8 x2 = 3,6 mL. 2. Montrer par récurrence que : un = 10−8×0,8n−1 pour tout entier naturel n strictement positif. Initialisation : u1 = 10-8 x0,80 = 2 mL. la propriété est vraie au rang 1. Hérédité : un = 10−8×0,8n−1 est supposé vrai. un+1 = 2+0,8un = 2 +0,8 (10−8×0,8n−1 ) = 2+8 -8 x0,8n =10-8 x0,8n. La propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel.  3. Déterminer la limite de un et et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l’exercice. 0 < 0,8 < 1, en plus l'infini 0,8n tend vers zéro. Par produit 8×0,8n−1 tend vers zéro. un tend vers 10. Au bout d'un nombre important de prises de ce médicament, l'organisme contient 10 mL de ce médicament.  4. Soit N un entier naturel strictement positif, l’inéquation uN > 10 admet-elle des solutions ? Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l’exercice. 10−8×0,8N−1 > 10 ; −8×0,8N−1 > 0 ; La partie gauche est un réel strictement négatif ; elle ne peut pas être supérieure ou égale à 10. L'inéquation n'admet pas de solution. La quantité de médicament présent dans l'organisme est strictement inférieure à 10 mL quel que soit le nombre de prises.  5. Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l’organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL. Justifier votre démarche. 10−8×0,8n−1 > 9 ; 10-9 >8×0,8n−1  ;  1 >8×0,8n−1 ; 1 / 8 > 0,8n−1 ; 0,125 >0,8n−1 ; ln(0,125) >(n-1) ln (0,8) ;  n-1 > ln(0,125) / ln(0,8) ; n-1 >9,32 ; n > 10,32. n étant entier : n > 11. Partie B.  En utilisant la même modélisation, le médecin s’intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l’organisme du malade au cours du temps. On définit pour cela la suite (Sn) définie pour tout entier naturel n strictement positif par Sn =( u1 +u2 +··· +un ) / n . On admet que la suite (Sn) est croissante. 1. Calculer S2. S2 = (u1+u2) / 2 =(2+3,6) / 2 = 2,8. 2. Montrer que pour tout entier naturel n strictement positif, u1 +u2 +··· +un = 10n −40+40×0,8n . un = 10−8×0,8n−1  ; u1 +u2 +··· +un = 10-8 x0,80+10-8 x0,81 +...10-8x0,8n-1. u1 +u2 +··· +un =10 +10 +...+10 -8(0,80 +0,81 +...+0,8n-1). u1 +u2 +··· +un = 10 n -8x1x(1-0,8n) / (1-0,8). u1 +u2 +··· +un = 10 n -8 / 0,2 x(1-0,8n). u1 +u2 +··· +un =10 n -40 x(1-0,8n). u1 +u2 +··· +un =10 n -40 +40 x0,8n. 3. Calculer la limite de Sn en plus l'infini. Sn =10-40 / n +40 / n x0,8n. En plus l'infini : 40 / n tend vers zéro. 0 < 0,8 < 1 donc 0,8n tend vers zéro. Par limite de la somme et du produit Sn tend vers 10.  4. On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python : def mystere(k) :  n = 1  s = 2  while s < k :  n = n + 1  s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n  return n  Dans le contexte de l’énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9)? mistere(9) donne le premier entier naturel non nul pour lequel la quantité moyenne de médicament présent dans l'organisme est supérieur ou égal à 9 mL.  5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à 10. A partir de la 11ème prise du médicament la quantité présente dans le corps est supérieure à 9 mL. La fonction mystere renvoie une valeur strictement supérieure à 10. S39 ~9,97 ; S40 ~9,0001. La fonction mystere renvoie 40.

menu