Mathématiques. Equation
différentielle, suite. Bac
Centres étrangers 2025.
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Partie A
On considère l’équation différentielle
(E1) : y
′ +0,48y =
1 /
250
,
où y est une fonction de la variable t appartenant à l’intervalle [0 ;
+∞[.
1. On considère la
fonction constante h définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par h(t) =
1 /
120
.
Montrer que la fonction h est solution de l’équation différentielle
(E1).
h' = 0, repport dans (E1) : 0,48 / 120 =0,004 = 1/250.
2. Donner la forme
générale des solutions de l’équation différentielle y
′ +0,48y = 0.
f(t) = A exp(-0,48t) avec A constante réelle.
3. En déduire l’ensemble
des solutions de l’équation différentielle (E1).
f(t) = A exp(-0,48t)+1 /
120.
Partie B
On s’intéresse à présent à l’évolution d’une population de bactéries
dans un milieu de
culture.
À un instant t = 0, on introduit une population initiale de 30 000
bactéries dans le milieu.
On note p(t) la quantité de bactéries, exprimée en millier d’individus,
présente dans le
milieu après un temps t, exprimé en heure.
On a donc p(0) = 30.
On admet que la fonction p définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ est
dérivable, strictement
positive sur cet intervalle et qu’elle est solution de l’équation
différentielle (E2) :
p
′ =
1 /
250
p ×(120− p).
Soit y la fonction strictement positive sur l’intervalle [0 ; +∞[
telle que, pour tout t appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[ , on a
p(t) =
1
/y(t)
.
1. Montrer que si p est
solution de l’équation différentielle (E2), alors y est solution
de l’équation différentielle (E1) :
y
′ +0,48y =
1 / 250
.
p' = -y' / y 2= 1
/
(250 y) ×(120− 1 / y).
-y' = y2
/(250y) (120y-1) / y.
-y'= (120y-1) / 250.-y' = 0,48 y -1 / 250.
y'+0,48y = 1 / 250.
y est donc solution de (E1).
2.
On admet réciproquement que, si y est une solution strictement positive
de l’équation différentielle (E1), alors p =
1
/ y
est solution de l’équation différentielle (E2).
Montrer que, pour tout t appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[ , on a :
p(t) =
120 /(1+K e
−0,48t)
avec K une constante réelle.
y (t)= A exp(-0,48t)+1 / 120.
p(t) = 1 / y(t) = 1 /( A exp(-0,48t)+1 / 120 ).
p(t) = 120 / (120A exp(-0,48t)+1).
On pose K ) 120 C : p(t) = 120 / (K exp(-0,48t)+1).
3.
En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de K .
p(0)=30 =120 / (K+1).
120 / 30 = K+1 ; K = 3.
4. Déterminer la
limite en +oo de
p(t). En donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
En +oo, exp(-0,48t) tend vers zéro.
1+K
exp(-0,48t)+1) tend
vers1.
p(t) tend vers 120/4 = 30.
La population de bactéries va se stabiliser vers 120 000.
5. Déterminer le temps nécessaire
pour que la population de bactéries dépasse 60 000 individus.
On donnera le résultat sous la forme d’une valeur arrondie exprimée en
heures et
minutes.
p(t) = 60 = 120 / (3 exp(-0,48t)+1).
3 exp(-0,48t)+1=2.
exp(-0,48t)=
1 /3.
-0,48t = ln(1/3) = - ln(3).
t = ln(3) / 0,48 ~2,289.
2,289 heures = 2 h 17 min.
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= =
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On
se propose de comparer l’évolution d’une population animale dans deux
milieux distincts A et B.
Au 1er janvier 2025, on introduit 6 000 individus dans chacun des
milieux A et B.
Partie A
Dans cette partie, on étudie l’évolution de la population dans le
milieu A.
On suppose que dans ce milieu, l’évolution de la population est
modélisée par une suite
géométrique (un) de premier terme u0 = 6 et de
raison 0,93.
Pour tout entier naturel n, un représente la population au 1er janvier
de l’année 2025+n,
exprimée en millier d’individus.
1. Donner, selon ce modèle, la population au 1er janvier 2026.
u1 = 0,93 u0 = 0,93 x6 =5,58 soit 5580 individus.
2. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
un = u0 x 0,93n = 6 x0,93n.
3. Déterminer la limite de la suite (un).
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
0 < 0,93 <1, donc 0,93n tend vers zéo si n tend vers +oo.
un tend vers zéro.
Au bout d'un temps assez long, tous les animaux auront disparu.
Partie B
Dans cette partie, on étudie l’évolution de la population dans le
milieu B.
On suppose que dans ce milieu, l’évolution de la population est
modélisée par la suite
(vn) définie par
v0 = 6 et pour tout entier naturel n, vn+1 = −0,05vn2 +1,1vn.
Pour tout entier naturel n, vn représente la population au 1er janvier
de l’année 2025+n,
exprimée en millier d’individus.
1. Donner, selon ce modèle, la population au 1er janvier 2026.
v1 = −0,05v02 +1,1v0=-0,05 x62 +1,1x6 =4,8. ( 4 800 individus).
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
f (x) = −0,05x
2 +1,1x.
2. Démontrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0; 11].
f '(x) = -0,1 x+1,1.
f '(x) = 0 si x = 11.
f '(x) < 0 si x >11 et f(x) est décroissante.
f '(x) > 0 si x < 11 et f(x) est croissante.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a
2 < vn+1 < vn < 6.
Initialisation : v0 = 6, v1 = 4,8 la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : 2 < vn+1 < vn < 6 est supposé vrai.
f(x) étant croissante sur [0 ; 11] :
f(2) <f(vn+1) < f(vn) < f(6).
f(2) =2 ; f(6) =4,8.
2 < vn+2 < vn+1 < 4,8.
2 < vn+2 < vn+1 < 6.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
4. En déduire que la suite (vn) est convergente vers une limite L
La suite est décroissante et minorée, donc elle converge vers une limite L.
5. a. Justifier que la limite L vérifie f (L) = L puis en déduire la valeur de L.
f(x) est continue ; (f([2 ; 6]) appartient à [2 ; 6]. D'après le
théorème du point fixe L est la solution unique de f(x) = x sur [2 ; 6].
−0,05L2 +1,1L= L.
−0,05L2 +0,1L=0.
0,1 L(-0,5 L +1) =0.
Solution retenue L = 2.
b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Au bout d'un certain temps, la population se stabilise vers 2 000 individus.
Partie C
Cette partie a pour but de comparer l’évolution de la population dans les deux milieux.
1. En résolvant une inéquation, déterminer l’année à partir de laquelle la population
du milieu A sera strictement inférieure à 3 000 individus.
un = 6 x0,93n < 3.
0,93n < 0,5.
n ln(0,93) < ln(0,5) ; n > ln(0,5) / ln(0,93) ; n >9,55 soit 10 années. ( 1935).
2. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle la population du
milieu B sera strictement inférieure à 3 000 individus.
v(5) = 3,14 ; v(6)=2,96 ; donc n > 6 ( année 2031).
3. Justifier qu’à partir d’une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.
La suite (un) converge vers zéro et la suite (vn) converge vers 2.
les deux suites sont décroissantes et le premier terme est 6.
Il existe un rang N tel que vN > uN.
4. On considère le programme Python suivant.
a. Recopier et compléter ce programme afin qu’après exécution, il affiche l’année à partir de laquelle la population du
milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.
n=0
u=6
v=6
while u <=v :
u=0,93*u
v=-0,05*v**2+1.1*v
n=n+1
print (2025+n)
b. Déterminer l’année affichée après exécution du programme.
Le script affiche 2038.
u12 = 2,51 ; v12 = 2,41 ; u13 = 2,34 ; v13 = 2,36. Donc N = 13.
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