Mathématiques. Suites. Bac Métropole 2025. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . ... . . . . .. .. ...... ... Une équipe de biologistes étudie l’évolution de la superficie recouverte par une algue marine appelée posidonie, sur le fond de la baie de l’Alycastre, près de l’île de Porquerolles. La zone étudiée est d’une superficie totale de 20 hectares (ha), et au premier juillet 2024, la posidonie recouvrait 1 ha de cette zone.  Partie A : étude d’un modèle discret Pour tout entier naturel n, on note un la superficie de la zone, en hectare, recouverte par la posidonie au premier juillet de l’année 2024+n. Ainsi, u0 = 1. Une étude conduite sur cette superficie a permis d’établir que pour tout entier naturel n : un+1 = −0,02un2 +1,3un. 1. Calculer la superficie que devrait recouvrir la posidonie au premier juillet 2025 d’après ce modèle. u1=-0,02*12+1,3*1=-0,02 +1,3=1,28.  2. On note h la fonction définie sur [0; 20] par h(x) = −0,02x 2 +1,3x. On admet que h est croissante sur [0; 20]. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 < un < un+1 < 20. Initialisation : u0 = 1 et u1 = 1,28. L'affirmation est vraie au rang zéro. Hérédité : 1 < un < un+1 < 20 est supposé vrai. h étant croissante sur [0 ; 20], h(1) < h(un) < h(un+1) < h(20). h(1) = 1,28 ; h(20) = 18. 1,28 < un+1 < un+2 < 18. 1 < 1,28 et 18 < 20 : 1 < un+1 < un+2 < 20. La proposition est vraie au rang n+1. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.   3. En déduire que la suite (un) converge. La suite est bornée par 1 et  20 et la suite est croissante. La suite étant croissante et majorée, elle converge vers une limite L.   4. Justifier que L = 15. La limite de la suite est solution de l'équation h(L) =L. −0,02L 2 +1,3L= L. 0,02L 2 =0,3L ; L 2 =15L. L (L-15)=0. Solution retenue L = 15.  Les biologistes souhaitent savoir au bout de combien de temps la surface recouverte par la posidonie dépassera les 14 hectares. 5.a. Sans aucun calcul, justifier que, d’après ce modèle, cela se produira. La suite converge vers 15 ; tout intervalle ouvert contenant 15 , contient les termes de la suite à partir d'un certain rang. Par exemple ]14 ; +oo[. Soit N0 le rang à partir duquel les termes de la suite sont dans cet intervalle. La posidonie finira par recouvrir une surface supérieure à 14 ha.  b. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’en fin d’exécution, il affiche la réponse à la question des biologistes. def seuil() n=0 u=1 while : u <=14 : n=n+1 u=-0.02*u**2+1.3*u returne n Partie B : étude d’un modèle continu On souhaite décrire la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie au cours du temps avec un modèle continu. Dans ce modèle, pour une durée t, en année, écoulée à partir du premier juillet 2024, la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie est donnée par f (t), où f est une fonction définie sur [0 ; +∞[ vérifiant : f (0) = 1;  f ne s’annule pas sur [0 ; +∞[;  f est dérivable sur [0 ; +∞[;  f est solution sur [0 ; +∞[ de l’équation différentielle (E1) : y ′ = 0,02y(15− y). On admet qu’une telle fonction f existe; le but de cette partie est d’en déterminer une expression. On note f ′ la fonction dérivée de f . 1. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g(t) = 1 / f (t) . Montrer que g est solution de l’équation différentielle (E2) :  y ′ = −0,3y +0,02. 2. Donner les solutions de l’équation différentielle (E2). g'(t) = -f '(t) / f(t)2. Repport dans (E2) : -f '(t) / f(t)2=-0,3 g(t) +0,02. -f '(t) / f(t)2=-0,3 / f(t) +0,02. -f '(t) / f(t) =-0,3 +0,02   f(t) ; f(t) étant solution de (E1) :  f '(t) = 0,02 f(t) (15− f(t)). -f '(t) / f(t) = -0,02(15-f(t)) = -0,3 +0,02 f(t). g(t) est donc solution de (E2). 3. En déduire que pour tout t ∈ [0 ; +∞[ : f (t) = 15 /(14e−0,3t +1) . Solution de y'+0,3y = 0 ; g(t) = A e-0,3t avec A constante réelle. Solution particulière de (E2) : 0,02 / 0,3 = 0,2 / 3. Solution générale de (E2) : g(t)=A e-0,3t +0,2 / 3 = A e-0,3t +1/15. f(0) = 1  ; g(0) = 1  f(0) = 1. 1 = A+1 /15 ; A = 14 /15. g(t) = 14 /15 e-0,3t +1 /15 = (14 e-0,3t +1 ) 15. f(t) = 1 /g(t) = 15 / (14 e-0,3t +1 ).  4. Déterminer la limite de f en +∞. e-0,3t tend vers 0 ; 14 e-0,3t +1 tend vers 1 ; f(t) tend vers 15. 5. Résoudre dans l’intervalle [0 ; +∞[ l’inéquation f (t) > 14. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. 15 / (14 e-0,3t +1 ) > 14. 15 > 14(14 e-0,3t +1 ). 15 > 196 e-0,3t +14. 1 >196 e-0,3t . 1 / 196 >e-0,3t . ln(1/196) > -0,3 t. -ln(196 >- 0,3 t. ln(196 ) < 0,3 t ; t > ln(196) /0,3 ~17,6. Il faudra 17,6 années pour que la posidonie occupe une surface strictement supérieure à 14 ha. Les deux modèles sont cohérents. ... =  = .... 1. La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par un =(1+5 n ) / (2+3 n) . Affirmation 1 : La suite (un) converge vers 5 /3 . un = (1 / 5n+1) / (2/5n+(3/5)n). En plus l'infini : 1 / 5n et 2/5n tendent vers zéro. 0 < 3/5 <1 : (3/5)n tend vers zéro. Par somme des limites : (1 / 5n+1) tend vers 1 et 2/5n+(3/5)n tend vers zéro. un tend vers +oo. Affirmation fausse.  2. On considère la suite (wn) définie par : w0 = 0 et, pour tout entier naturel n, wn+1 = 3wn −2n +3.  Affirmation 2 : Pour tout entier naturel n, wn > n. Initialisation : w0 = 0 > 0 :  l'affirmation est vraie au rang zéro. Hérédité : wn  > n est supposé vraie. 3 wn > 3n ; 3wn −2n > n. 3wn −2n +3 > n+3 > n+1. wn+1 >n +1. Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire : elle est donc vraie pour tout entier naturel n. Affirmation vraie.  3. On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ dont la courbe représentative Cf est donnée dans un repère orthonormé. On précise que :  T est la tangente à Cf au point A d’abscisse 8;  L’axe des abscisses est la tangente horizontale à Cf au point d’abscisse 1. Affirmation 3 : D’après le graphique, la fonction f est convexe sur son ensemble de définition. La courbe est au dessous de sa tangente en A. Elle est donc concave sur une partie de son domaine de définition. Affirmation fausse.  4. Affirmation 4 : Pour tout réel x > 0, ln(x)−x +1 < 0, où ln désigne la fonction logarithme népérien. f(x) = ln(x)-x+1. f '(x) = 1/x -1= (1-x) / x.  f '(x) =0 si x = 1. f '(x) >0 si x < 1  soit sur ]0 ; 1[ :  f est croissante sur cet intervalle de moins l'infini à f(1)=0.  f '(x) < 0 si x > 1 : f est décroissante sur ]1 ; +oo[ de 0 à -oo. Donc cette fonction est négative car son maximum est 0 en x=1. Affirmation vraie.

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