Mathématiques. Géométrie. Bac Polynésie 2025. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . ... . . . . .. .. ...... ... Deux avions sont en approche d’un aéroport. On munit l’espace d’un repère orthonormé dont l’origine O est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan P0 d’équation z = 0. L’unité des axes correspond à 1 km. On modélise les avions par des points. L’avion Alpha transmet à la tour sa position en A(−7 ; 1 ; 7) et sa trajectoire est dirigée par le vecteur u de coordonnées ( 2 −1 −3 ). L’avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite dB passant par le point B dont une représentation paramétrique est : x =-11+5t ; y = -5+t ; z = 11-4t avec t réel. 1. S’il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point S en lequel l’avion Bêta touchera le sol. z =0 = 11-4t ; t = 11 /4. x = -11+5*11 /4 = (-44+55)/4=11 /4. y = -5+11 / 4 = -9 /4.  2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite dA caractérisant la trajectoire de l’avion Alpha. x =2t'+xA = 2t'-7. y =-t'+yA = -t'+1. z =-3t'+zA = -3t'+7 avec t' réel. b. Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ? Dans l'hypothèse d'une collision : 2t'-7 =-11+5t ; t' = 2,5t-2. -t'+1=-5+t ; t' = 6-t ; par suite : 2,5t-2=6-t ; 3,5t = 8 ; t = 16 / 7 et t' = 40 / 7-2 =26 /7. 11-4t = 11-64 / 7 =13 / 7 ; -3t'+7 =-3*26 / 7 +7 = -29 /7. 13 /7 diffère de -29 /7; donc pas de collision. 3. a. Démontrer que l’avion Alpha passe par la position E(−3 ; −1 ; 1). x = 2t'-7. y = -t'+1. z =-3t'+7 avec t' réel. Dans l'hypothèse ou l'avion Alpha passe par E : -3 = 2t'-7 ; t' = 2. y = -2+1=-1 = yE. z = -3*2+7=1=zE. L'hypothèse est vérifiée. b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan PE passant par E et perpendiculaire à la droite dA est : 2x − y −3z +8 = 0. Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite dA : 2 ; -1 ; -3. Coordonnées d'un vecteur perpendiculaire au plan PE : 2 ; -1 ; -3. Equation de ce plan : 2x-y-3z+d=0. E(-3 ; -1 ; 1)  appartient à ce plan : 2*(-3)-1*(-1)-3*1+d=0 ; d = 8. c. Vérifier que le point F(−1 ; −3 ; 3) est le point d’intersection du plan PE et de la droite dB. 2xF − yF −3zF +8 =2*(-3)-(-1)-3*1+8=0 est vérifié. F appartient au plan PE. Dans l'hypothèse ou F appartient à la droite dB : xF =-11+5t =-1 ; t =2 ;  yF = -5+t=-5+2=-3 ;  ; zF = 11-4t=11-8=3. L'hypothèse est vérifiéel. d. Calculer la valeur exacte de la distance EF, puis vérifier que cela correspond à une distance de 3 464 m, à 1 m près. EF2 =(-1+3)2+(-3+1)2+(3-1)2=12 ; EF = 2 *3½~3,464 km.  4. La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l’un de l’autre (1 mille nautique vaut 1 852 m). Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ? 3 x 1852 = 5 556 m > 3464 m. La distance de sécurité n'est pas respectée. ... =  = .... L’espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère les points suivants : A(1; 3; 0), B(−1 ; 4 ; 5), C(0; 1; 0) et D(−2 ; 2 ; 1). 1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. 2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A. AB2 =(-2)2 +12+52=30. AC2 =(-1)2 +(-2)2+02=5. BC2=(0-(-1))2+(1-4)2+(0-5)2=35. BC2=AB2 +AC2 .  3. Soit D la droite passant par le point D et de vecteur directeur u de coordonnées (2 ; -1 ; 1).  a. Démontrer que la droite D est orthogonale au plan (ABC). Le vecteur u est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires su plan (ABC) : la droite D est orthogonale au plan (ABC).  b. Justifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne : 2x − y + z +1 = 0. Equation du plan (ABC) : 2x-y+z+d = 0. A(1 ; 3 ; 0) appartient à ce plan : 2xA-yA+zA+d = 0. 2-3+0+d = 0 ; d= 1. c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D. x = 2t+xD =2t-2. y = -t+yD = -t+2. z = t+zD =t+1. 4. On appelle H le point de coordonnées (-2/3 ; 4 /3 ; 5 /3) . Vérifier que H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC). Soit M un point de la droite D ;  xM =2t-2 ; yM = -t+2 ; zM =t+1. M appartient au plan (ABC) : 2xM-yM+zM+1=0. 2(2t-2)-(-t+2)+t+1+1 =0 ; 6t=4 ; t =4 / 6 = 2 /3. La droite D n'a qu'un seul point  sur le plan (ABC), étant orthogonale à ce plan. C'est le point de coordonnées : x =2*2 /3-2 = -2/3 ; y =-2 /3+2 = 4 /3 ; z = 2 /3+1 = 5 /3. Il s'agit donc du point H.  5. On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par V = B h /3, où B est l’aire d’une base du tétraèdre et h est sa hauteur relative à cette base. a. Montrer que DH = 2* 6½ / 3. DH2 =(-2 /3-(-2))2+  (4/3-2)2+  (5/3-1)2=16 /9 +4 /9 +4 /9 =24 /9 ; DH = 2* 6½ / 3. b. En déduire le volume du tétraèdre ABCD. Aire de la base ( triangle ABC rectangle en A ) =30½ * 5½ / 2 = 150½ / 2. hauteur DH. Volume : 2* 6½ / 3 * 150½ / 6=(150*6)½ / 9 =30 /9 = 10 / 3.  6. On considère la droite d de représentation paramétrique : x = 1−2k ; y = −3k ; z = 1+ k avec k réel.  La droite (d) et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (d) :-2 ; -3 ; 1. Coordonnées d'un vecteur normal au plan (ABC) : 2 ; -1 ; 1. Le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul. Ces deux vecteurs étant perpendiculaires, la droite (d) est parallèle au plan (ABC).

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