Physique appliquée. Concours ingénieur territorial 2025.

Isolation par l'extérieur. 4 points.
Initialement, deux murs en béton, un mur sans ouverture côté nord et un autre similaire côté sud séparant l'intérieur de l'extérieur. Température intérieure 19°C. Température du milieu extérieur : -12 °C dans le cas le plus défavorable.
On place des matériaux isolants côté extérieur.
On rappelle :
Résistance thermique de conduction surfacique : R_cd = e / l.
Résistance thermique de convection surfacique : R_cv = 1 / h.
Flux thermique F = DT / R.
De l'intérieur vers l'extérieur, les matériaux sont les suivants :
Béton : e_b = 20 cm ; l_béton = 1,35 W m^-1K^-1.
Polystyrène : e_p = 10 cm ; l_poly = 0,035 W m^-1K^-1.
Enduit : e_en =1 cm ; l_enduit = 1,16 W m^-1K^-1.
1. Calculer la résistance thermique du mur avant et après rénovation.
h₁ = 8,13 W m^-2 K^-1 coefficient de convection entre l'air et le béton.
h₂ = 6,55 W m^-2 K^-1 coefficient de convection entre l'air et l'enduit.
Après isolation : R₁ =1/ h₁ + e_b /l_béton+e_p /l_poly +e_en /l_enduit + 1/h₂ ;
R₁ =1/8,13 +0,20 / 1,35 +0,10 / 0,035 +0,01 / 1,16 +1/6,55 = 3,29 W^-1 m² K .
Avant isolation : R₂ = 1/h₁ + e_b /l_béton + 1/h₁ ;
R₂ =1/8,13 +0,20 / 1,35 +1/8,13 = 0,394 W^-1 m² K .
2. Calculer la température des différentes faces du mur après rénovation.
q _si la température de la surface intérieure :
F = h₁ ( q _i - q _si ) = 8,13( 19- q _si )=9,42 ; 19- q _si= 9,42 / 8,13 = 1,16 ; q _si~ 17,8 °C.
q _se la température de la surface extérieure :
F = h₂ ( q _se - q _e ) = 6,55( q _se -(-12))= 9,42; q _se+12= 9,42 /6,55 = 1,44 ; q _se~ -10,6 °C.
3. Calculer le flux thermique par mètre carrés avant et après rénovation.
Après isolation : F = DT / R₁= (19+12) / 3,29 =9,42 W m^-2
Avant isolation : F = DT / R₂= (19+12) / 0,394 =78,7 W m^-2.
Les deux murs seront assimilés à des rectangles de 14 m de hauteur et de 36 m de longueur.
Prix moyen du kWh : 0,225 € HT.
Le coût moyen des travaux d'isolation est compris entre 180 et 230 € par m².
4. Calculer les déperditions thermiques ( en W) avant et après rénovation. On considère une période hyvernale allant du 1 / 11 au 31 mars ( 29 jours en février).
Surface des deux murs : 2 x 14 x 36=1 008 m².
Durée : 152 jours ou 152 x24=3 648 heures.
Avant isolation : 78,7 x 1008=7,9 10⁴ W.
Après isolation : 9,42 x 1008=9,5 10³ W.
Economie :( 79-9,5) 10³=69,5 10³ W = 69,5 kW.
69,5 x3 648=2,5 10⁵ kWh.
2.5 10⁵ x 0,225=5,6 10⁴ €.
Coût des travaux compris entre :
180 x 1 008=1,8 10⁵ €.
230 x 1 008=2,3 10⁵ €.
2,3 10⁵ / (5,6 10⁴) ~ 4 ans.
1,8 10⁵ / (5,6 10⁴) ~ 3 ans.

Problème 2. 4 points.
Arrosage de la toiture végétalisée.
On crée 5 fontaines. l'eau pourra irriguer la toiture par écoulement gravitationnel.
Objectif : dimensionner la pompe hydraulique permettant le bon fonctionnement de ces 5 jets d'eau identiques.

h₁ = 5 m.
Electropompe triphasée ( 400 V ; 50 Hz) ; facteur de puissance 0,88 ; rendement global 91 %. Elle fournit une pression de 3 bars. On néglige les pertes de charge et les frottements sur toute la canalisation.
- Calculer la vitesse V₁ à la base de la buse 1.
Th de l'énergie cinétique entre la base et le sommet d'un jet.
0 -½mv² = travail du poids = -mgh ; v = (2gh)^½=(2 x9,81 x 5)^½ =9,9 m /s.

- Calculer le débit volumique de la pompe en L /min.
Puissance active : P = 3^½UI cos F =3^½ x400 x 10 x 0,88 =6,1 10³ W.
Puissance utile :6,1 10³ x 0,91 =5,55 10³ W.
Débit volumique Q_v = Puissance utile / pression = 5,55 10³ / (3 x 10⁵) =0,0185 m³ s^-1 = 18,5 Ls^-1ou 18,5 x60 =1,11 10³ L / min.

- En déduire le diamètre des buses.
Débit volumique Q_v (m³ /s)=vitesse (m/s) x section (m²).
Section = 0,0185 / 9,9=1,87 10^-3 m² pour les 5 buses identiques.
Diviser par 5 pour obtenir la section d'une buse : 3,73 10^-4 m².
3,14 d² /4 = 3,73 10^-4 ; d²=4,75 10^-4 m² ; d~ 0,022 m ou 2,2 cm.