Le cyclotron Arronax, bac Centres étrangers 2026

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L’objectif de cet exercice est d’étudier le fonctionnement général d’un cyclotron pour permettre la production de radioisotopes puis d’étudier leur utilisation lors d’une scintigraphie.
1. Le fonctionnement d’un cyclotron.
Un cyclotron est un accélérateur de particules, inventé par M. Lawrence en 1931.
Il est composé de deux cavités métalliques en forme de demi-cylindres éloignées d’une distance notée d. Un canon permet de produire les particules chargées introduites dans le dispositif.
Entre les deux cavités, une tension alternative U est appliquée. Elle crée un champ électrique E .
Les particules utilisées sont des ions H− obtenus à partir d’atomes d’hydrogène. Ils sont donc soumis, entre les deux cavités à une force électrique Fe qui les accélère.
À l’intérieur des deux cavités, un champ magnétique impose un mouvement circulaire uniforme aux particules présentes.
Au bout d’un certain nombre de tours, les ions H− passent au travers d’un extracteur qui leur enlève leurs deux électrons. À la sortie, les protons H+ formés sont dirigés vers une cible, pour produire les radioisotopes.


Le mouvement de l’ion H‒ entre les plaques est étudié dans un référentiel supposé galiléen, associé à l’axe (Ox). L’ion H‒ est émis au point O sans vitesse initiale.
Données :
 Masse de l’ion H‒ : m = 1,67 × 10−27 kg ;
Charge de l’ion H‒ : q = ‒ e = ‒ 1,6 × 10−19 C ;
- Distance entre les plaques : d = 5,0 mm ;
- Tension appliquée entre les plaques : U = 65 kV ;
- Valeur du champ électrique : E = U / d ;
- 1 eV = 1,60 × 10−19 J ;
- Intensité du champ de pesanteur g = 9,81 N·kg−1.
Q.1.Montrer que la valeur de la norme du poids de l’ion H− est négligeable devant la valeur de la norme de la force électrique Fe  qui s’applique sur l’ion.
P = mg =1,67 10-27 *9,81 = 1,6 10-26 N.
Fe = q U / d = 1,6 10-19 x 65 103 / (5,0 10-3)=2,08 10-12 N, très qupérieure au poids..
Q.2. Reproduire, sur la copie, la figure . Compléter ce schéma en faisant apparaitre, sans soucis d’échelle, la force électrique Fe qui s’applique sur l’ion H− et le champ électrique E présent dans tout l’espace entre les plaques.

Q.3. Exprimer l’accélération ax de l’ion H− dans la zone accélératrice en fonction de e, U, d et m, en utilisant la deuxième loi de Newton.
Fe = e U / d = m a ; a = e U / (md).
Q.4. Montrer alors que la vitesse et la position de l’ion H− lors du passage dans la zone accélératrice, sur l’axe x, peuvent s’écrire :
 v = eU / (md) t et x(t) = ½eU / (md) t2.
A t=0, l'ion est en O sans vitesse.
La vitesse est une primitive de l'accélération : v = eU / (md) t.
La position est une primitive de la vitesse : x(t) = ½eU / (md) t2.
Q.5. Calculer la valeur de la vitesse vsortie de l’ion H− après le premier passage dans la zone accélératrice lorsque x(t) = d.
t2 =2md2 / (eU)  ; t =(2m / (eU))½d.
v = e U / (md) (2m / (eU))½d = (2e U/ m)½
v= (2*1,6 10-19*65 103 /(1,67 10-27 ) =3,5,0 106 m /s.

Q.6. Vérifier que l’énergie cinétique de l’ion H− à la sortie de la zone accélératrice vaut EC = 1,0 × 10−14 J.
Ec = 0,5 mv2 = 0,5 x1,67 10-27 x(3,5 106)2=1,0 × 10−14 J.
À chaque passage entre les plaques, les particules gagnent une énergie cinétique égale à 1,0 × 10−14 J. Par contre, les particules n’acquièrent pas d’énergie cinétique dans les cavités.
En sortie du cyclotron, les particules possèdent une énergie cinétique de 70 MeV.
Q.7. Calculer le nombre de tours complets que les particules ont effectués avant la sortie du cyclotron.
70 x106 x1,6 10-19 / (1,0 10-14)=1,12 103passages entre les plaques.
Il y a deux passages entre les plaques à chaque tour.
Nombre tours : 560. .

2. La production de radioisotope et la scintigraphie.
Les protons accélérés par le cyclotron permettent la production de radioisotopes comme le fluor 18. Le fluor 18 radioactif entre dans la composition du fluorodésoxyglucose (FDG), un traceur radioactif qui s’accumule dans les zones cancéreuses. La désintégration de ce traceur émet des photons. Ceux-ci sont captés et analysés grâce à une gamma-caméra, placée autour de la zone à étudier.
La scintigraphie est réalisée dans un service hospitalier de médecine nucléaire, lors d’un examen en plusieurs étapes :-
injection dans une veine d’une petite quantité du traceur radioactif ;
attente d’environ 1 h pour la diffusion et la fixation du traceur dans l’organisme ;-
enregistrement et production de clichés de l’organe à étudier puis analyse de ces clichés. Cette étape dure environ 30 minutes ;
sortie du patient de l’hôpital 2 h après le début de l’examen.
Pour former le fluor 18, les protons H+ (dont la représentation symbolique est 11H) accélérés par le cyclotron bombardent une cible riche en oxygène 18. Lors de cette réaction, un neutron (noté 01n) est également produit.
Q.8. Écrire l’équation de la réaction nucléaire conduisant à la formation du fluor 18.
188O +11H--> 189F + 01n.
Le fluor 18 contenu dans le traceur radioactif se désintègre par radioactivité β+.
Q.9.Donner le nom et le symbole de la particule émise lors d’une désintégration radioactive β+. Écrire l’équation de la transformation nucléaire qui correspond à cette désintégration.
Un positon est émis.
189F --> 10e + 188O.
Cette désintégration est accompagnée de l’émission de photons dont l’énergie moyenne est de 511 keV.
Q.10.Calculer la longueur d’onde correspondant à l’énergie moyenne transportée par le photon. Justifier alors l’utilisation d’une gamma-caméra pour analyser ce rayonnement.
l = hc / E =6,63 10-34 x 3 108 / (511 103 x1,6 10-19)= 2,4 10-12 m.
Domaine des rayons gamma, d'où l'utilisation d'une gamma-caméra.
Pour la suite, on note N0 le nombre de noyaux de fluor 18 contenu dans le traceur à l’instant t = 0 s, correspondant au moment de l’injection et on note N(t), le nombre de noyaux de fluor 18 présent dans le corps du patient à la date t.
L’équation différentielle donnant le nombre de noyaux N(t) en fonction du temps est de la forme :
d N(t) /dt= - l × N(t) avec l constante de radioactivité.
Q.11. Montrer que l’expression N(t) = N0 × exp(−l×t) est bien solution de l’équation différentielle précédente.
d N(t) /dt =−l N0 × exp(−l×t )= −l N(t).
Repport dans l'équation différentielle : - l × N(t) = - l × N(t) est bien vérifié.
La représentation graphique ci-dessous est la modélisation du pourcentage de noyaux restants (N(t)/N0) au cours du temps :
La relation entre la constante radioactive λ et le temps de demi-vie t1/2 est : t1/2 = ln(2) / l..
Q.12. Définir puis déterminer graphiquement la valeur du temps de demi-vie t1/2 du fluor 18.
Durée au bout de laquelle la quantité initiale de noyaux de fluor 18 est divisée par 2.

Q.13.
Calculer la valeur de la constante radioactive l correspondant au fluor 18.
l = ln(2) / t½ = ln(2) / 6600 =1,05 10-4 s-1.
Q.14. Déterminer le pourcentage de traceur radioactif restant dans le corps du patient après l’analyse des clichés.
1 h 30 min = 5400 s.
N(t) / N0  =  exp(−l×t) = exp( -1,05 10-4 x5400) =0,567  ( ~57 %).
Q.15.
Calculer la valeur de la durée nécessaire pour qu’il reste moins de 1 % de traceur radioactif dans le corps du patient. Commenter cette valeur.
N(t) / N0  =  exp(−l×t) < 0,01 ;
ln(0,01) = -1,05 10-4 t ;  t =4,39 104 s ou ~ 12 h.
Boire abondamment ( élimination par les reins) et éviter les contacts rapprochés après la sortie de l'examen.


  
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