Mathématiques, fonctions, Bac centres étrangers 06/2026

Exercice 4 (6 points).
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f (x) = ln(x) /x² On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[. On note f ' sa fonction dérivée et f '' sa fonction dérivée seconde.
Partie A 1. a. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de l’intervalle ]0 ;+∞[.
En 0⁺ : ln(x) tend vers -oo et x² tend vers zéro.
Donc par quotient f(x) tend vers -oo.
En +oo. Par croissance comparée, ln(x) / x² tend vers 0.
b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
En 0⁺, l'axe des ordonnées est asymptote verticale à C_f.
En +oo, l'axe des abscisses est asymptote à C_f.
2. Pour tout réel strictement positif x, démontrer que f ' (x) = (1−2ln(x))/ x³.
On pose u = ln(x) et v = x² ; u' = 1/x ; v' = 2x.
(u'v-v'u) / v² =[x -2x ln(x) ] / x⁴=(1−2ln(x))/ x³.
3. Dresser le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.
Sur ]0 ;+∞[ , x³>0.
f '(x) possède le signe de 1-2 ln(x).
f '(x) =0 si ln(x) = 0,5 soit x = e^0,5.
Si x appartient à ]0 ; e^0,5[, f '(x) est strictement positive et f(x) est strictement croissante.
Si x appartient à ] e^0,5; +oo[, f '(x) est strictement négative et f(x) est strictement décroissante.

4. Déterminer l’équation réduite de la droite D, tangente à la courbe Cf au point A d’abscisse 1.
Coefficient directeur de la tangente : f '(1) =1
Equation de la tangente y =x+b.
Le point (1 ; 0) appartient à la tangente : b = 0
0 = x +b ; b = -1.
y = x-1.
5. Vérifier que pour tout réel strictement positif x, on a f ''(x) = (−5+6ln(x)) x⁴.
On pose u = 1-2ln(x) et v = x³ ; u'=-2 / x ; v' = 3x².
(u'v-v'u) / v² =( -2 x²-3x²(1-2ln(x)) / x⁶= (-5x²+6x²ln(x) ) / x⁶=(−5+6ln(x)) x⁴.
6. a. Étudier la convexité de la fonction f en précisant les coordonnées des éventuels points d’inflexion.
f"(x) >0 si ln(x) > 5/6 : fonction convexe.
f"(x) <0 si ln(x) < 5/6 : fonction concave.
si x = 5 / 6 ; abscisse du point d'inflexion.
f(5/6) = 5 /( 6exp(5/6)).
b. En déduire que, pour tout réel x appartenant à ] 0 ; exp(5 /6) ] , on a x −1 > ln(x) / x²
f est concave sur cet intervalle : donc la courbe Cf est en dessous de ces tangentes, en particulièremnt en dessous de la tangente en A.
f(x) < x-1 soit ln(x) / x² < x-1.
7. Justifier que, pour tout réel x appartenant à [ exp(5/6) ;+∞[ , on a aussi x-1 > ln(x) / x².
Sur cet intervalle : x-1 > exp(5/6)-1 > f(exp(5/6) > f(x).
x-1 > ln(x) / x².

Partie B. On considère la suite (I_n) définie, pour tout entier naturel non nul n, par :

1. Donner une interprétation graphique de I_n pour n un entier naturel non nul.
ln(x) et x² sont positifs sur [1 ; n]. In représente l'aire du plan comprise entre la courbe, l'axe des abscises et les droites d'équation x =1 et x = n.
2. Démontrer que la suite (I_n) est croissante.

Sur [1 ; +oo[, f(x) >0 donc l'intégrale précédente est positive ou nulle.
I_n+1-I_n > 0. La suite est croissante.

3. On souhaite calculer une approximation de

en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous.

Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage Python.
from math import *
S = 1 /(2*exp(1))
for i in range (2,10):
S=.S+log(i)/(i**2)
print(S).
Recopier et compléter ce script afin qu’il réponde au problème posé.
4. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul n, I_n = (n −1−ln(n) ) /n.
On pose u(x) = ln(x) et v' = 1/x².
u'(x) = 1/x et v = -1/x.

5. Calculer la limite de la suite (I_n) quand n tend vers +∞.
Quand n tend vers +oo : 1 /n tend vers zéro.
Par croissance comparée : ln(n) / n tend vers zéro.
I_n tend vers 1.