Bilan thermique d'un avion en altitude de
croisière, bac métropole 2026
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Le fuselage est la carcasse qui constitue
le corps d’un avion. Il est constitué d’un assemblage de divers
matériaux (aluminium, titane, composites, isolants thermiques).
On choisit de modéliser ce fuselage par un cylindre creux de rayon
intérieur r, d’épaisseur e petite devant r, et de longueur L, constitué
d’un unique matériau homogène de conductivité thermique l.
Dans l’avion, on suppose que l’habitacle situé à l’intérieur du
fuselage (air, passagers, sièges, etc.), de capacité thermique globale
C, est à la température Tint et que la température de la
paroi interne du fuselage est aussi égale à Tint.
L’objectif de l’étude est de déterminer, en régime permanent, le flux
thermique traversant le fuselage entre l’intérieur et l’extérieur, pour
un avion volant à l’altitude de croisière de dix kilomètres, puis
d’explorer certaines implications sur le dispositif de CVC (chauffage,
ventilation et climatisation). On néglige les transferts thermiques aux
deux extrémités du fuselage.
Données pour un Airbus A340 :
– longueur du fuselage : L = 60 m ;
– rayon intérieur du fuselage : r = 2,8 m ;
– volume d’air contenu dans le fuselage : V = 1,4 × 103 m3;
– épaisseur du fuselage : e = 0,30 m ;
– conductivité thermique du fuselage : l= 0,030 W·m−1·K−1 ;
– température de la surface interne du fuselage : Tint = 20 °C ;
– température de la surface externe du fuselage : Text = − 53 °C ;
– capacité thermique de l’habitacle : C = 1,9 × 106 J·K‒1 ;
– capacité thermique massique de l’air : cair = 1,0 × 103 J∙kg‒1∙K‒1 ;
– masse volumique de l’air : rair = 1,3 kg∙m‒3 dans la gamme de températures envisagées ;
– résistance thermique Rth d’une paroi cylindrique de rayon intérieur r, d’épaisseur e faible
devant r, de longueur L et de conductivité thermique l :
Rth= e/ (2p l r L).
On s’intéresse dans un premier temps à la conduction thermique au sein de l’épaisseur du fuselage.
Q1.
Indiquer dans quel sens s’effectue le transfert thermique par
conduction entre l’intérieur et l’extérieur du fuselage. Justifier.
Le transfert thermique s'effectue de l'intérieur chaud vers l'extérieur froid.
Q2. Montrer que l’expression du flux thermique de conduction Fcond est :
Fcond = (Tint – Text) 2p l r L / e.
Tint – Text =Rth Fcond ; Fcond=(Tint – Text) /Rth.
De plus
Rth= e/ (2p l r L)..
Par suite : Fcond = (Tint – Text) 2p l r L / e.
Q3. Vérifier que la valeur de Fcond est d’environ 7,7 kW.
Fcond =((20 -(-53)) x2 x3,14 x0,030 x2,8 x60 / 0,30 = 7,7 103 W = 7,7 kW.
Q4. Déterminer l’expression de la capacité thermique Cair de l’air de l’habitacle en fonction de cair, rair et V. Calculer sa valeur et la comparer avec la donnée C.
Cair = mair x Cair = rair Vair Cair=1,3 x1,4 103 x1,0 103 =1,8 106 J K-1.
Cette valeur est un peu inférieure à C car on n'a pas pris en compte les parois de l'habitacle mais uniquement de l'air.
De
plus, on suppose que tous les passagers, assis et calmes, fournissent
ensemble à l’air de l’habitacle une puissance thermique Ppass = 14 kW.
Q5. En régime
permanent et donc à température constante, montrer que le premier
principe de la thermodynamique appliqué au système {air de l’habitacle}
conduit à la relation
PCVC = Fcond – Ppass, avec PCVC la puissance apportée à l’air de l’habitacle par le dispositif de CVC.
DU = W+ Q.
Le système air de l'habitacle n'échange pas de travail : W =0.
DU = Q.
A température constante, Q = 0.
Donc DU =0.
DU = Ppass Dt - Fcond Dt +PCVC Dt =0.
Ppass - Fcond +PCVC =0.
PCVC =Fcond -Ppass .
Q6. Calculer la valeur de PCVC.
En déduire si le dispositif de CVC permettant de maintenir constante la
température intérieure doit fournir une puissance thermique à l’air
situé dans l’habitacle (chauffage) ou en recevoir (climatisation).
PCVC =7,7 -14 = -6,3 kW.
Le dispositif de CVC doit évacuer le surplus de chaleur : il fonctionne en climatiseur.
Q7. Le dispositif
de CVC tombe en panne. En supposant que le flux thermique de conduction
reste à peu près constant, calculer la température Tdéf qu’atteindrait l’air situé à l’intérieur de l’habitacle, une heure après la défaillance du dispositif de CVC. Commenter.
L'air de l'habitacle reçoit la puissance thermique de 6,3 kW : 14 kW reçu des pasagers et 7,7 kW cédé vers l'extérieur.
Pendant une heure l'énergie correspondante est : 6,3 103 x3600 = 2,27 107 J.
Eth = Cair DT = Cair ( Tdef-Tint).
Tdef= Tint+Eth / Cair.
Tdef= 20+2,2 107 / (1,8 106)=32,6°C..
Cette température serait assez difficile à supporter.
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