La saga de la découverte des trous noirs,
bac Polynésie 2026
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres
d’intérêts.
.
.
.
|
.
.
|
L’astronome
Reinhard Genzel, prix Nobel de physique en 2020, et ses collaborateurs
ont apporté les preuves de l’existence d’un trou noir au centre de
notre galaxie, nommé SgrA* (Sagittarius A*), dont la masse a été
évaluée peu après par l’équipe d’Andrea Ghez à environ 4,4 millions de
masses solaires.
D’après Sciences et Avenir - octobre 2020
Le but de cet exercice est d’estimer la masse M du trou noir SgrA* afin de confirmer la valeur donnée dans l’article précédent.
La figure suivante présente la trajectoire elliptique d’une étoile appelée S2 dans le référentiel galiléen dont l’origine est le trou noir SgrA* .
On a reporté, à coté de chaque position de l’étoile S2 la date à laquelle a été effectué le relevé. Ainsi, 2000,6 correspond à l’année 2000, accomplie au 6/10 de sa durée.
Les points F1 et F2 sont les foyers de l’ellipse, F1 étant occupé par SgrA*.
D’après la deuxième loi de Kepler, le rayon vecteur qui relie le centre du trou noir SgrA* à l’étoile S2 balaie des aires égales pendant des durées égales.
Q1. Expliquer que la vitesse de l’étoile S2 en 2002 est supérieure à la vitesse de S2 en 1993.
Les aires hachurées étanr égales, en 1993 la distance parcourue AB est
inférieure à la distance parcourue CD en 2002 pendant la même durée : la vitesse de l’étoile S2 en 2002 est supérieure à la vitesse de S2 en 1993.
Q2. À partir de la figure, montrer que la valeur de la période de révolution T de l’étoile S2 autour de SgrA* est de l’ordre de 19 ans.
½T = 2002 -1992,5 =9,5 ; T = 2 *9,5 = 19 ans.
On peut montrer que la période de révolution de l’étoile S2 est identique à celle qu’aurait une étoile fictive Sf dont la trajectoire serait circulaire autour de F1, avec un rayon égal à la moitié du grand axe de l’ellipse parcourue par S2.
On considère que l’étoile fictive Sf est uniquement soumise à la force
gravitationnelle de SgrA* et que sa trajectoire est circulaire de rayon
r. L’étude est effectuée dans le repère de Frenet .
On note M la masse de l’étoile fictive Sf.
Q3. À l’aide de la
deuxième loi de Newton appliquée à l’étoile Sf considérée comme
ponctuelle, exprimer son vecteur accélération a en fonction de G, M, r
et du vecteur n .
On pose R+h = r
Q4. Recopier la
figure sur votre copie, sans souci d’échelle, et représenter, au
point Sf, les vecteurs vitesse v et accélération a de l’étoile Sf.
Q5. En utilisant
l’expression du vecteur accélération dans la base de Frenet, montrer
alors que dans le cadre de l’approximation d’une trajectoire
circulaire, le mouvement de l’étoile Sf est circulaire uniforme.
Q6. Montrer également que l’expression de la vitesse v de l’étoile Sf est : v = (GM /r)½.
Q7. On définit T
comme la période de révolution de l’étoile S autour du trou noir SgrA*.
Retrouver l’expression de la troisième loi de Kepler : T2/r3 = 4p2/ (GM).
L'étoile décrit la circonférence 2 p r à la vitesse v=(GM/ r)½ pendant la durée T.
2 pr =v T.
4p 2·r2 =v2T2=GM /r T2.
T2/r3 = 4p2/ (GM).
Données :
constante de gravitation universelle : G = 6,67×10–11 m3·kg–1·s–2 ;
masse du soleil : MS = 1,99×1030 kg ;
la valeur r du rayon de l’orbite de l’étoile fictive Sf : r = 1,74×1011 km ;
la valeur de la période de révolution T de l’étoile S2 autour de SgrA* est égale à 19 ans.
Q8. Déterminer la
valeur de la masse M du trou noir SgrA*. Comparer le résultat à la
valeur annoncée dans l’article de Sciences et Avenir cité en préambule.
Commenter.
T = 19 ans = 19 x365 x24x3600 ~6,0 108 s.
r = 1,74 1014 m.
M = 4p2r3 / (GT2 )=4 x3,142 x(1,74 1014)3 / (6,67 10-11 x36 1016)=8,7 1036 kg.
Masse du soleil : 2 1030 kg.
8,7 1036 /(2 1030) ~ 4,3 106.
Valeur en accord avec celle citée en préambule.
|