Numéro de haute voltige, concours kiné AP-HP 2010.

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Au cirque lors d'un numéro de haute voltige, un trapéziste A s'élance à partir d'un trampoline situé au sol et est rattrapé par un autre trapéziste B situé en hauteur. Le but de ce problème est d'étudié la trajectoire du premier trapéziste assimilé à son centre d'inertie et de mettre en corrélation les mouvements des deux trapézistes pour que la figure soit réussie. Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment. Etude du premier trapéziste. Le trapéziste de masse mA est lancé d'un point O avec une vitesse initiale v0, contenue dans le plan vertical Oxy et faisant un angle q avec l'axe horizontal Ox. Ce trapéziste est soumis à une force de frootement proportionnelle à la vitesse v : Etablir l'équation différentielle vérifiée par le vecteur vitesse caractérisant le mouvement. Etude sur l'axe horizontal Ox. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la composante vx de la vitesse. -kvx = mAdvx/dt ; dvx/dt + k /mA vx = 0. En déduire à l'aide des conditions initiales la composante  vx( t). vx( 0) = v0 cos q.  vx = A exp(-k /mA t) et à t = 0 : vx( 0) = v0 cos q. vx = v0 cos q exp(-k /mA t) En intégrant l'équation précédente, déduire l'équation horaire x(t). L'abscisse est une primitive de la vitesse : x =-mA / k v0 cos q exp(-k /mA t) +B A t = 0, x(0) = 0 ; par suite B =mA / k v0 cos q x = mA / k v0 cos q( 1- exp(-k /mA t)). Etude sur l'axe horizontal Oy. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la composante vy de la vitesse. -mAg-kvy = mAdvy/dt ; dvy/dt + k /mA vy +g = 0. (1) En déduire à l'aide des conditions initiales la composante  vy( 0). vy( 0) = v0 sin q. Solution générale de dvy/dt + k /mA vy = 0 : vy = A' exp(-k /mA t) Solution particulière de (1) : vy =-mAg/ k. Solution générale de (1) : vy = A' exp(-k /mA t) - mAg/ k. vy( 0) = v0 sin q=A'-mAg/ k. A' = v0 sin q+ mAg/ k. vy =v0 sin q exp(-k /mA t) + mAg/ k( exp(-k /mA t)-1).     On admet que  : Que deviennent les composantes vx et vy de la vitesse lorsque t tend vers l'infini ? Quand t est supérieur à 5 * mA/ k, l'exponentielle tend vers zéro :  vx = v0 cos q exp(-k /mA t) tend vers zéro. vy =v0 sin q exp(-k /mA t) + mAg/ k( exp(-k /mA t)-1) tend vers : - mAg/ k. Montrer que lorsque t tend vers l'infini, la trajectoire admet une asymptote. Donner l'allure de la trajectoire de A. Quand t est supérieur à 5 * mA/ k, vy --> - mAg/ k, droite verticale, tandis que vx s'annule. De plus la vitesse correspond à la pente de la tangente à la trajectoire. x(t) = mA / k v0 cos q( 1- exp(-k /mA t)) tend vers : mA / k v0 cos q. La trajectoire admet une asymptote d'équation x = mA / k v0 cos q. Donner l'allure de la trajectoire de A. Dans la question suivante, on néglige les frottements.. Quelles sont les équations horaires du mouvement de A ? En déduire l'équation de la trajectoire. Trajectoire de B placé en réception. Les frottements sont négligés. Le trapéziste B asimilé à son centre d'inertie, de masse mB se balance sur un trapèze assimilé à un pendule, constitué d'un fil inextensible de longueur L, de masse mP. On posera m = mA + mP.  On prendra l'état d'équilibre pour l'état de référence de l'énergie potentielle. Le trapéziste s'élance sans vitesse initiale à la date t=0, d'une hauteur h au dessus du sol, le trapèze faisant un angle a0 avec la verticale. A une date quelconque t, la position du trapèze est repérée par l'angle a que fait le fil avec la verticale. Etablir à la date t, en fonction de m, g, L et a : - l'expression de l'énergie potentielle : Système : trapèze + trapéziste. On recherche le barycentre G de B et F ( centre d'inertie du fil ). G0 est l'origine de l'énergie potentielle. OG = L-ß L= l. Altitude de G :  l(1-cos a) Energie potentielle de pesanteur : Epot = m g  l(1-cos a). - expression de l'énergie cinétique. Ec = ½m v2. - expression de l'énergie mécaique. E= ½m v2+m g  l(1-cos a). Justifier que l'énergie mécanique se conserve. Seul le poids travaille; la tension du fil est perpendiculaire à la vitesse, elle ne travaille pas. Le poids est une force conservative : l'énergie mécanique reste constante. Equation différentielle vérifiée par a. ( on admettra que l'approximation des petits angles est valable sin a ~a) Dériver E par rapport au temps : 0 = mv v' + mg l sin a a' ; v v' + gl  a a' ~0. or v = a' l  et v' = a'' l  d'où :   a'' l + g  a ~0. a'' + g /l a ~0 ; on pose w2 =g /l . a'' + w2 a ~0 La solution est supposée de la forme a(t) = A cos (Bt+C) avec A >0. A l'aide des conditions initiales et de l'équation différentielle, déterminer A, B et C. B = w = (g /l)½. a(0) = A cos C = a0. Vitesse a' = -AB sin(Bt+C) : la vitesse initiale est nulle : 0 = -AB sin C ; A et B ne sont pas nuls donc C = 0 ou p. Si C = p, alors -A = a0. Cela ne convient pas car A est positif. a(t) = a0 cos ((g /l)½t). Lorsque, au cours du mouvement le trapéziste se balance, il est soumis à une force T due au fil. Montrer que la valeur de T au point M de la trajectoire peut s'exprimée par la relation : T = m( v2E/ l + g ( 3 cos a-2)) où vE est la vitesse au passage à la position d'équilibre. La conservation de l'énergie mécanique s'écrit : ½m v2+m g  l(1-cos a) = ½mv2E. v2= v2E- 2g  l(1-cos a) = v2E- 2g  OG(1-cos a). La figure d'accrochage. Les frottements sont négligés. Le trapéziste A de masse 80 kg s'élance à la date t=0 de O à la vitesse de 20 m/s avec un angle q = 45 °. Le trapèze se trouve à la distance  d = 20 m du trapéziste A et à une hauteur de 10 m au dessus du sol. Le fil du trapèze a une longueur L = 5,0 m. On prendra g = 10 SI ; p~3 ; 2½ ~1,4. Initialement le trapéziste B se trouve au point B0 ( 21 m ; 10,27 m ) A quelle date, ce trapéziste B doit-il s'élancer pour récupérer le trapéziste A au point S ( 20 m ; 10 m) après avoir effectué 2 oscillations. Trajectoire de A : x = v0 cos q t = 20 cos 45 t = 20*0,707 t = 14,14 t. y = -5 t2 + 20 sin 45 t = -5t2 +14,14 t. A la date de la rencontre : x= 20 soit t = 20/14,14 = 1,4 s Trajectoire de B : a(t) = a0 cos ((g /l)½t). (g /l)½= (10/5)½ = 1,4 rad/s ; a(t) = a0 cos(1,4 t). Période T = 2 p / w = 2*3/1,4 = 4,3 s. Deux oscillations correspondent à 2 périodes. Pour attrapper A il doit effectuer 2,25 oscillations ( dans l'hypothèse où  le trapèze passe par la position d'équilibre ) durée de 2,25 oscillations : 4,3*2,25 =9,7 s. B doit donc s'élancer 9,7-1,4 = 8,3 s avant A.

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