Câble coaxial, concours inspecteur répression des fraudes 2009

Soient u_(x) la tension entre les deux conducteurs à l’abscisse x, et i_(x) l’intensité du courant dans l’âme (figure 2b).
Comme l’indique la figure 2b, une longueur élémentaire dx de câble a une résistance rdx et une conductance de fuite gf dx.

Utiliser les indications de la figure 2b pour établir la relation entre l’intensité et la dérivée première du/dx de la tension.
Additivité des tensions : u = u+du + rdx i ; du +rdx i = 0 ; i = -1/r du/dx (1).
Etablir la relation entre la tension et la dérivée première de l’intensité (on négligera le terme du deuxième ordre qui apparaît).
u + du = -di / ( g_fdx) = -1/g_f di/dx ; le terme du est négligeable compte tenu de la longueur du câble.
u ~ -1/g_f di/dx (2)
En déduire l’équation différentielle suivante : d²u/dx²-u/L² =0.
Dériver (1) par rapport à x : di/dx = -rd²u/dx² puis tenir compte de (2) : -1/r d²u/dx²= -g_f u.
d²u/dx²-rg_f u = 0 ; on pose L = 1/(rg_f)^½.
Exprimer la constante L, préciser sa dimension, puis calculer sa valeur.
L = 1/(rg_f)^½ ; r est en W m^-1 ; g_f est en S m^-1 soit W^-1 m^-1 ; rg_f est en m^-2 ; (rg_f)^½ est en m^-1 ; L = 1/(rg_f)^½ est en mètre.
L = (0,01 * 10^-10)^-½ =1,0 10⁶ m.
Une extrémité du câble, qui est de très grande longueur, est reliée à une source de tension continue U₀. On note u₍₀₎=U₀ .
Intégrer l’équation différentielle et en déduire l’expression de la tension u_(x).
Solution générale de l'équation différentielle : u(x) = A exp(x/L) + B exp(-x/L) avec A et B des constantes.
u(0) = U₀ = A + B.
i = - 1/r du/dx = -1/r [ A / L exp(x/L)-B / Lexp(-x/L)] ; i(L) = 0 = -1/(rL) [ A exp(1)-B Lexp(-1)]
A exp(1)=B Lexp(-1) ; B = A exp(2)
par suite : A = U₀ / ( 1+exp(2)) ; B =U₀ exp(2) / ( 1+exp(2)).
Exprimer l’intensité i_(x). Montrer qu’il apparaît une résistance caractéristique R_c et calculer sa valeur.
R_c = u(x) / i(x) ; u(x) =U₀ / ( 1+exp(2)) [ exp(x/L) + exp(2)exp(-x/L) ]
i(x) = -U₀/(Lr( 1+exp(2))) [ exp(x/L)- exp(2) exp(-x/L)]
R_c = -Lr [ exp(x/L) + exp(2)exp(-x/L) ] / [ exp(x/L)- exp(2) exp(-x/L)]
Rc(0) = Lr[1+exp(2)] / [exp(2)-1] = Lr coth(2)
Rc(0) = 1,0 10⁶ *0,01 = 1,3 10⁴ W.

On considère maintenant un câble de même nature et de longueur h, qui relie la source de tension continue U₀ (en x=0) à l’entrée verticale d’un oscilloscope d’impédance d’entrée considérée comme infinie.
Quelle est la valeur de l’intensité i_(h) ?
i(h) = 0

Montrer que la tension s’écrit : u(x) = U₀ ch((h-x) / L) / ch((h/L) . On rappelle que : ch(a) = ½(e^a+e^-a).
i(h) = 0 ; i(h) = -U₀/(Lr( 1+exp(2))) [ exp(h/L)- exp(2) exp(-h/L)] = 0.
d'où : exp(h/L)- exp(2) exp(-h/L) =0 soit : exp(2) = exp(2h/L)
Repport dans u(x) :
u(x) =U₀ / ( 1+exp(2h/L)) [ exp(x/L) + exp(2h/L)exp(-x/L)].

Exprimer l’intensité i_(x). On rappelle que : d( ch(a) /da = sh(a).
i = - 1/r du/dx =U₀ sh((h-x)/L) / (rL ch(h/L) ).
Exprimer la résistance d’entrée du câble définie par la relation : R₀ = u(0) / i(0).
u(0) = U₀ ; i(0) =U₀ th (h/L) / (rL) ; R₀ =r L / th (h/L).
Que peut-on dire du rapport h/L ? Simplifier alors l’expression précédente. Calculer R₀.
Donnée : h=1,0 m. On rappelle que sh(a)~ a et que ch(a) ~ 1 quand a <<1.
h/L <<1 ; th (h/L) ~ h/L ; R₀~r L² / h =0,01 * 10¹² = 10¹⁰ W.
Exprimer puis calculer la puissance P consommée dans le câble. Conclure.
dp = u(x) i (x) =-1/ r u(x)du(x) /dx = -1/(2r) d(u²(x)) ;
intégrer entre 0 et h :

On suppose maintenant qu’à cause d’un défaut, l’extrémité du câble reliée à l’entrée verticale de l’oscilloscope est en court-circuit.
Quelle est la valeur de la tension u_cc(h) ?
u_cc(h) = 0.
Etablir les expressions de la tension u_cc(x), de l’intensité i_cc(x), de la résistance d’entrée R_cc0 du câble.
u(x) =U₀ / ( 1+exp(2)) [ exp(x/L) + exp(2)exp(-x/L) ]
u(h) =0 =U₀ / ( 1+exp(2)) [ exp(h/L) + exp(2)exp(-h/L) ] ;
exp(h/L) + exp(2)exp(-h/L) = 0 ; exp(2) = - exp(2h/L)
u(x) =U₀ / ( 1- exp(2h/L) ) [ exp(x/L) - exp(2h/L) exp(-x/L) ]

i = - 1/r du/dx =U₀ ch((h-x)/L) / (rL sh(h/L) ).
u(0) = U₀ ; i(0) =U₀ coth (h/L) / (rL) ; R_cc0 =r L / coth (h/L) = rL th (h/L)
h/L <<1 ; th (h/L) ~ h/L ; R_cc0~r h =0,01 W.
Exprimer puis calculer la puissance P_ccconsommée dans le câble. Commenter.
dp = u(x) i (x) =-1/ r u(x)du(x) /dx = -1/(2r) d(u²(x)) ; intégrer entre 0 et h :

On considère un conducteur cylindrique homogène de grande longueur, de rayon R, parcouru par un courant axial homogène d’intensité constante I. Le courant circule dans le sens des z croissants.

Soit z’z l’axe de symétrie. On utilisera la base de vecteurs unitaires (voir figure 3).

Exprimer la densité de courant dans le conducteur.
La densité de courant est j=I/(pR²), R rayon du câble.
Quelle est l’orientation du champ magnétique créé par le courant ?
Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
L'axe Oz est axe de symétrie du système ; une rotation autour de cet axe ne modifie pas le champ : la variable q n'intervient donc pas dans l'expression du champ.
Toute translation le long de l'axe Oz, ne modifie pas le champ : la variable z n'intervient donc pas dans l'expression du champ.
Tout plan contenant l'axe Oz est plan d'antisymétrie : le champ appartient donc au plan contenant l'axe Oz et le point M d'où : B_q( r, z) =0.
Le champ est orthoradial : B(M) = B( r, t) e_q.

Exprimer le champ magnétique à la distance r de l’axe en fonction la norme j du vecteur densité de courant, de r, de la perméabilité µ_o du vide et d’un vecteur unitaire. On distinguera deux régions de l’espace et on introduira la norme j du vecteur densité de courant.

point intérieur au câble

En tout point de G le champ magnétique a même module et est tangent à G.
appliquer le th. d'Ampère sur le contour G, cercle de rayon r, l'intensité des courants enlacés par G étant I r²/R²
B 2p r =m₀ I r²/R²
B =m₀ I r / (2p R²) =m₀ j r / 2.
point extérieur au câble
appliquer le th. d'Ampère sur le contour G, cercle de rayon r, l'intensité des courants enlacés par G étant I
B 2p r =m₀ I
B =m₀ I / (2p r) =m₀ jR² /(2r).
si r =R on peut constater que le champ magnétique donner par les deux expressions ci dessus a la même valeur. Continuité du champ magnétique lors du passage du conducteur au vide.

On considère maintenant un gaz constitué de protons qui s’écoule en formant dans le vide un faisceau cylindrique d’axe de symétrie z’z et de rayon R. Les protons circulent dans le sens des z croissants. La densité de courant j est constante.
Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
Un volume élémentaire dt de gaz est soumis à la force magnétique : dF_m = j ^ B dt.
Exprimer cette force en fonction de la norme j du vecteur densité de courant, de la distance r à l’axe, de dt, de la perméabilité µ_o du vide, et d’un vecteur unitaire.
Quel est l’effet des forces magnétiques sur le faisceau ?

Sous l'effet des forces magnétiques le faisceau à tendance à imploser.

En régime permanent, le faisceau est en équilibre sous l’effet conjugué des forces magnétiques et des forces de pression. La force due à la pression P qui s’exerce sur un volume élémentaire dt s’écrit :
dF_P = -grad P dt.
Établir l’équation différentielle que satisfait la pression.
dF_P + dF_m = 0 ; -½µ₀j² r dt-dP/dr dt = 0
½µ₀j² r = -dP/dr ; dP = ½µ₀j² r dr = ¼µ₀j² d(r²)
Intégrer cette équation ; en déduire la pression P₀ sur l’axe.
Intégrer : P= ¼µ₀j²r² + Cste.

Soient n le nombre de protons par unité de volume, v la vitesse d’un proton et e la charge d’un proton.
Exprimer la norme j du vecteur densité de courant en fonction de n, e et v.
j = n e v.
Calculer la pression P₀ avec les données suivantes :
µ₀ = 4 p 10^-7 H m-1 ; n = 10²¹ m^-3 ; e = 1,6 10^-19 C ; v = 1,0 10⁵ m/s ; R = 1,0 m.