Déterminer l'inductance d'une bobine de haut-parleur : concours Eni-Geipi-Polytech 2010.

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Un haut parleur est constitué d’une bobine mobile placée dans un champ magnétique créé par un aimant. Lorsqu’elle est parcourue par un courant alternatif, cette bobine entraine la membrane du haut parleur. On souhaite caractériser cette bobine ; pour cela on bloque son déplacement en immobilisant la membrane. On propose alors un modèle électrique simple constitué par une inductance L en série avec une résistance R 1ère expérience : A t= 0 s, on alimente la bobine sous une tension constante. On mesure u à l’aide d’un voltmètre et i à l’aide d’un système d’acquisition en intensité (cf. schéma ci-dessous). On enregistre l’évolution de i(t). Le système d’acquisition en courant possède une résistance interne RA = 2,0 Ω. Le voltmètre possède une résistance interne RV = 1,0 MΩ. Indication du voltmètre u = 5,0 V constant pour t >0. Etude en régime permanent : Ecrire l’équation liant u à i en régime permanent. En déduire la valeur de R. Quel appareil de mesure aurait pu être utilisé pour mesurer directement R ? En régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance R. La résistance de l'ampèremètre est RA = 2,0 ohms ; u = (R+RA ) i. En régime permanent, l'intensité est proche de 0,62 A ( lecture graphe ) et u = 5,0 V ; R =u / i -RA = 5,0 / 0,62  -2,0= 6,1 ohms. On aurait pu mesurer directement la résistance de la bobine isolée du circuit avec un ohmètre. Etude du régime transitoire : Ecrire l’équation différentielle de variable i(t) pour t >0. Additivité des tensions : u = Ldi/dt + Ri + RA i ; u = Ldi/dt +(R +RA) i. di/dt +(R +RA) / L i = u / L. Sa solution est de la forme i(t) = α + β exp (- t / γ) ; exprimer α, β et γ en fonction des données de l’énoncé. On pose g = L/(R +RA) ;  A l'instant t=0, la continuité de l'énergie conduit à i(0) = 0. 0 = a + ß ;  a = - ß. En régime permanent i = u / (R +RA) = a ; ß = - u / (R +RA). Quelles sont l’expression et la valeur de i lorsque t = γ ? En déduire la valeur de γ, puis la valeur de L. g est la constante de temps du dipole RL ;  i(g) =u/(R+RA) ( 1-exp(-1)) = 0,63 u/(R+RA). i(g) =0,63*5 / 8,1 =0,39 A.   L = g (R +RA) =60 10-6 *8,1 =4,8 10-4 H. 2è expérience : Pour obtenir une mesure de L plus précise que la précédente, on réalise un circuit oscillant constitué de la bobine placée en série avec un condensateur de capacité C, initialement chargé sous 10 V.  Quelle condition sur C permet d’obtenir une réponse pseudo périodique, sachant que la résistance critique est donnée par Rc=2(L/C)½ ? Pour obtenir un régime pseudopériodique, la résistance R du dipôle RLC doit être inférieure à Rc. La résistance de la bobine vaut R = 6,1 ohms. Rc2 = 4L / C ; Rc2 > 6,12 ;  4L / C > 6,12 ; C < 4L /  6,12 ; C <4*4,8 10-4 / 6,12 ; C > 5,2 10-5 F. On choisit C = 0,20 μF ; la pseudo-période de ce circuit est très proche de la période propre du circuit non amorti correspondant. En utilisant l’enregistrement ci-après, exprimer L en fonction de paramètres connus. Calculer L  T = 2 p (LC)½ ; ( T/(2 p))2 = LC ;  L = ( T/(2 p))2 /C. L = (6,4 10-5 / 6,28)2 / 2 10-7 =5,2 10-4 H. ..

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