Question 1
( 5 points)
Un solide de masse m = 30 kg est en équilibre sur un plan incliné comme
le montre la figure ci-dessous. Le coefficient de frottement entre le
solide et le plan incliné est k= 0,4. Le fil AB est parallèle au plan
incliné. Il est inextensible et de masse négligeable. On prend
l’accélération de la pesanteur g = 10 m.s-2.
Reproduire
le schéma et représenter l'ensemble des forces appliquées au solide M
sans notion d’échelle.
Déterminer la
réaction du plan sur le solide.
Ecrire l'expression vectorielle sur un axe perpendiculaire au plan, dirigé vers le haut :
-mg cos 30+N = 0 ; N = mg cos 30 = 30*10*cos 30 =259,8 N. Le coefficient de frottement entre le
solide et le plan incliné est k= 0,4 : 0,4 = f / R soit f = 0,4 R = 0,4 *259,8 =103,9 N
Réaction du plan R = (N2+f2)½ = (259,82 + 103,92 )½ =279,8 ~2,8 102 N. Déterminer
la tension dans le fil AB. Ecrire l'expression vectorielle sur un axe parallèle au plan, dirigé vers B :
-mg sin 30 + f + T = 0.
T = mg sin 30 - f =30*10*sin 30 -103,9 =46,1 ~ 46 N. Déduire
l'accélération prise par le solide M quand on supprime la liaison AB (coefficient de frottement f inchangé).
Ecrire la seconde loi de Newton suivant un axe parallèle au plan, dirigé vers le bas du plan.
mg sin 30 - f = ma ;
a = g sin 30 - f/m
a = 10*sin 30 -103,9 / 30 =1,54 ~ 1,5 m s-2.
Question 2
( 5 points) Un mobile de masse 10 kg se déplace dans un plan ramené au repère orthonormé (O, i, j).
Les équations paramétriques de la trajectoire en fonction du temps t sont les suivantes :
Suivant la direction O, i : x(t) = t
Suivant la direction O, j : y(t) = t3-2t2 -t +2 Déterminer l'équation de la trajectoire y = f(x).
y = x3-2x2 -x+2. Tracer la courbe y = f(x).
Calculer le module du vecteur vitesse du mobile à l'instant t = 0.
Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.
vx = 1 ; vy =3 t2-4t-1. vx (0)= 1 ; vy (0)= -1 ; v = (vx2 +vy2)½ = (12 +(-1)2)½ =1,414 ~ 1,4 m/s. Calculer le module du vecteur vitesse du mobile pour les valeurs de t telles que y = 0. y(t) = t3-2t2 -t +2 = 0 ; t = 1 ; y(t) = ( t-1) ( t2-t-2) = 0 ; t2-t-2 = 0 ; t = 2 ; t = -1 ( ne pas retenir) vx = 1 ; vy (1) =3 *12-4*1-1= -2 ; v(1) = (vx2 +vy2)½ = (12 +(-2)2)½ =2,24 ~ 2,2 m/s. vx = 1 ; vy (2) =3 *22-4*2-1= 3 ; v(2) = (vx2 +vy2)½ = (12 +32)½ =3,16 ~ 3,2 m/s.
Question 3 : Un
conducteur AB peut se déplacer perpendiculairement à deux rails
conducteurs parallèles en présence d'un champ magnétique B uniforme
d'intensité 1 T tel qu'indiqué sur la figure ci-dessous. La longueur du
conducteur AB est de 1 m et sa résistance est de 1 W.
Les deux rails de résistance négligeable sont alimentés par un
générateur continu E = 10 V et de résistance interne négligeable.
En régime permanent la vitesse du conducteur AB est de 7 m.s-1.
Déterminer le courant circulant dans AB.
La
vitesse du conducteur étant constante, le principe d'inertie indique
que la somme vectorielle des forces appliquées à AB est nulle.
Le poids et l'action du support se neutralisent. Le conducteur AB traversé par un courant I et soumis à un champ magnétique est soumis à une force de Laplace :
Un conducteur mobile dans un champ magnétique est le siège d'une f.em d'induction,
notée e= B x AB x v = 7 V, qui par ces effets électromagnétiques
s'oppose au déplacement du conducteur. Il en résulte un courant induit
et une force de Laplace induite telle que :
La tension aux borne s de AB vaut : uAB= E-e = 10-7 = 3 V ; 7 = R i d'où i = 3 A. Déduire la puissance débitée par la source E.
P = E I = 10*3 = 30 W. Déterminer la puissance des pertes Joule dissipées dans le conducteur AB.
PJ = R I2 = 1*32 = 9,0 W. Déterminer la puissance mécanique fournie par le conducteur AB.
F = I x AB x B = 3 *1 *1 = 3 N.
Puissance de cette force : F x v = 3 * 7 = 21 W. Déterminer la vitesse du conducteur AB pour que la puissance mécanique soit nulle.
La force de Laplace et la vitesse étant colinéaires et de même sens, la
puissance mécanique est nulle si la force est nulle, c'est à dire si
l'intensité résultante est nulle.
Soit uAB= E-e =0 ; e = E = 10 V ; e= B x AB x v = 10 V ; v = 10 m/s.
Entre les points A et B du circuit ci-dessous on applique une tension u(t) = 32 x 2½sin(100t).
Déterminer l’impédance Z du circuit entre les points A et B. Les grandeurs soulignées sont des nombres complexes.
L et C sont en dérivation : admittance Y : pulsation w = 100 rad/s.
Z = 32,016 ohms ~ 32 ohms. Déduire le courant I dans AB. Ieff = Ueff / Z =32 / 32,016 = 0,9995 ~1,0 A. Calculer le déphasage du courant I par rapport à la tension UAB. u = Zi ; arg u = arg Z + arg i ;
On choisit arg u =0, la phase de u(t) est choisie comme origine des phases. arg Z + arg i = 0 ; arg i = - arg Z ;
tan f =- Lw / (R-RLCw2)=0,2*100 / (20-20*0,2*10-4*104) =-1,25 f =-0,896 ~ -0,90 rad. Déterminer la fréquence pour laquelle I = 0.
Si l'impédance tend vers l'infini, l'intensité tend vers zéro.
1-LCw2 = 0 ; w2 =1/(LC) = 1/(0,2*10-4) ; w = 223,606 rad/s
fréquence = w / (2p) = 223,606 / 6,28 =35,6 ~ 36 Hz.
