Aurélie 26/04/10
 

 

  Densité, masse volumique, oscillation d'un glaçon, l'eau salée, concours technicien laboratoire 2010.


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Masse volumique et densité.
Rappeler l'expression de la masse volumique ; quelle est son unité dans le système SI ?
Je calcule une masse volumique en divisant une masse par un volume : masse ne kg, volume en m3 et masse volumique en kg m-3.
Le graphe ci-dessous représente les variations de la masse volumique de l'eau liquide en fonction de la température. La courbe présente un maximum pour une température de 4°C et une masse volumique µ0 = 999,98 SI.

Par rapport à la plupart des autres corps, ce graphe présente une anomalie. Quelle est-elle ?
La masse est constante ; le volume augmente avec la température : la masse volumique diminue quand la température augmente.
En général, la masse volumique est maximale à la température de solidification ; par contre pour l'eau le maximum se situe à 4 °C et non pas à la température de solidification 0°C.
Donner l'allure de ce graphe dans la plupart des corps.




Interpréter l'expérience suivante.
Lors du refroidissement de l'huile, celle-ci se solidifie d'abord par le bas, alors que  dans le cas de l'eau, la glace se forme d'abord en haut.
La masse volumique de la glace est inférieure à celle du liquide : la glace flotte sur l'eau.
La masse volumique de l'huile solide est supérieure à celle du liquide : le solide coule.
On entend dire que l'eau des lacs ne peut geler totalement en profondeur ; proposer une explication.
Les lacs présentent une stratification thermique verticale. La densité du liquide est maximale au fond et la température est de 4 °C.
 

Densité.
On définit la densité d'un liquide ou d'un solide par rapport à l'eau. La densité est le rapport de la masse d'un certain volume du solide ou du liquide à la masse du même volume d'eau pris à 4°C sous pression atmosphérique normale.
Pour quelle raison la température est-elle précisée ?
La masse volumique du corps de référence, l'eau, dépend de la température.
Pour quelle raison la pression est-elle précisée ? Est-ce déterminant ? Pourquoi ?
La masse volumique dépend de la pression. C'est particulièrement vrai dans le cas des gaz  qui sont compressibles. Par contre les liquides et les solides sont pratiquement incompressibles et dans ce cas la masse volumique dépend peu de la pression.
Quelle est l'unité de la densité ?
La densité étant le rapport de deux masses volumiques est sans unité.
Quelle relation simple existe t-il entre masse volumique et densité ?
La densité est le rapport de la masse volumique du solide ou du liquide à la masse volumique ( à 4°c ) de l'eau, corps de référence..
La densité a même valeur que la masse volumique du liquide ou du solide exprimée en g cm-3.
Quel est l'intérêt pratique de cette grandeur ?
Dans le cas de deux liquides non miscibles, le plus dense occupe la partie inférieure d'une ampoule à décanter.
Un solide de densité inférieure à un liquide, flotte ; un solide de densité supérieure à un liquide, coule.
Que peut-on dire de la densité de l'eau du robinet par rapport à celle de l'eau distilée ? Justifier.
L'eau du robinet contient de nombreux ions en plus des molécules d'eau ; l'eau distillée ne contient que des molécules d'eau.
La densité de l'eau du robinet est supérieure à celle de l'eau distillée.

.Mesure de la densité de la glace.
Etude statique.
On se place à la surface terrestre. L'intensité du champ de pesanteur est noté g. On considère un récipient contenant de l'eau pure à 4°C. Un glaçon cubique d'arrète c, de masse volumique µ1 flotte immobile à la surface de l'eau de masse volumique µ0. On fait l'hypothèse que le glaçon ne fond pas et on note h la hauteur immergée.
Quelles sont les forces exercées sur la glaçon ?
Le poids mg = c3µ1g et la poussée d'Archimède  de valeur c20g, se neutralisent.
c3µ1g = c20g soit : cµ1 =hµ0 ;
En déduire l'expression de la densité de la glace en fonction de c et h.
d = µ10 = h/ c.
A.N : h = 80 mm et c = 87 mm
d = 80/87 =0,92.

Etude dynamique.
A partir de la situation précédente, on appuie légèrement sur le glaçon de sorte de l'immerger davantage et on l'abondonne à lui même sans vitesse initiale.
Montrer qualitativement que celui-ci va osciller.
Juste après le lâcher, la poussée d'Archimède est supérieur au poids : le glaçon remonte et passe à la position d'équilibre avec une vitesse verticale vers le haut ; il continue donc de monter, mais cette fois-ci le poids devient supérieur à la poussée.
La vitesse va s'annuler et sous l'effet du poids, le glaçon redescend. Il passe à la position d'équilibre avec une vitesse verticale dirigée vers le bas ; il continue donc à descendre, mais cette fois-ci la poussée devient supérieur à la poids. Il va finir par s'arrêter avant de remonter et ainsi de suite.
A un instant t quelconque, la hauteur immergée du glaçon est h+x. par application de la seconde loi de Newton, en ne faisant intervenir que les forces précédentes, montrer que le mouvement du glaçon satisfait à l'équation différentielle : µ1 c d2x/dt2 + µ0 gx = 0.

Quelle est la solution générale de l'équation différentielle ? On ne cherchera pas à déterminer les constantes liées aux conditions initiales.
d2x/dt2 + µ0g / (µ1c) x=0 ; on pose w02 = µ0g / (µ1c)= g /(dc) avec d : densité de la glace.
x = A cos (w0t + B) avec A et B des constantes.
Donner la période des oscillations du glaçon T0 en fonction de d densité de la glace, g et c.
T0 = 2 pi / w= 2 pi  ( dc / g) ½.
A.N : g = 9,8 m s-2 ; T0 = 0,57 s. d = g T02 4 pi2 / ( 4 pi2c) =9,8 *0,572  / (4*3,142 *8,7 10-2) =0,93, valeur identique à la valeur calculée ci-dessus ( erreur relative ~ 1%)
En fait le mouvement du glaçon s'amortit rapidemment. Proposer une explication.
Il faut tenir compte des frottements fluides entre la glace et l'eau.





L'eau salée.
Quelle est l'ordre de grandeur de la concentration massique en sels dissous de l'eau de mer ? Quelles sont les mers les plus salées ?
La salinité est de l'ordre de 35 g/L dans les océans. En dehors de la mer Morte, les mers les plus salées sont quasiment fermées, recoivent peu d'eau douce et sont situées dans les régions chaudes ( la Méditerranée par exemple).
Qu'est qu'une solution saturée ? Quel est l'ordre de grandeur de la concentration massique en chlorure de sodium correspondante à la température ambiante ?
La solubilité s d'un corps (appelé soluté) est la masse de soluté que l'on peut dissoudre dans un solvant pour obtenir un litre de solution saturée.
La solution est saturée lorsque le solvant ne peut pas dissoudre la totalité du soluté. Un partie de ce dernier reste au fond du récipient.
A température ambiante, la solubilité du chlorure de sodium est environ 350 g/L.
Pour déterminer la concentration massique d'une eau salée, on réalise la succession d'expériences ci-dessous à la température de 15 °C. On utilise une balance électronique au gramme et une fiole jaugée de 1000 mL.

(1) fiole jaugée seule : m1 = 256 g
(2) fiole jaugée remplie d'eau distillée : m2 = 1255 g
(3) fiole jaugée remplie d'eau salée m3 = 1278 g.
Dans le cadre de cette mesure, faut-il prendre en compte le fait que l'eau ne se trouve pas à 4°C mais à 15 °C ? Justifier.
Il faudrait tenir compte de la dilatation de l'eau et du verre de la fiole jaugée si on utilisait une balance de précision.
Or les pesées se font  au gramme près ; dans ces conditions, travailler à 4 °C ou à 15 °C donnerait le même résultat.
Exprimer la densité de l'eau salée en fonction de m1, m2 et m3.
d =masse de 1 L d'eau salée / masse de 1 L d'eau = (
m3 -m1 ) / (m2-m1 ) =1022 / 999 =1,023 ~ 1,02. ( trois chiffres significatifs).
Erreur relative sur
(m3 -m1 ) et sur  (m2-m1 ) ~ 4 / 1000 = 0,4 % ; précision sur la densité  : 0,8 %
d = 1,023 + ou - 0,004 ; 1,019 < d < 1,027.

En se référant au tableau ci-dessous, déterminer de façon cohérente et le plus précisément possible la concentration massique de la solution d'eau salée.

A une densité d = 1,019 correspond une masse volumique égale à 1,019 103 kg m-3 à 15 °C
A une densité d = 1,027 correspond une masse volumique égale à 1,027 103 kg m-3 à 15 °C.
La concentration en NaCl serait donc comprise entre 30 et 40 g /L.








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