Statique des fluides : plongée avec bouteille ; concours technicien laboratoire 2010.

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Statique des fluides. On montre que le coefficient de compressibilité isotherme d'une substance peut s'écrire XT = 1 / µ . Dµ / DP où XT, P, µ, T sont respectivement le volume, la pression, la masse volumique et la température, ceci dans l'hypothèse où  XT est indépendant de la température. Dµ représente la variation de la masse volumique correspondant à la variation de pression DP. Quelle est l'unité de XT dans le système S.I ? 1 / µ . Dµ  est sans unité ; DP est en pascal ; XT est en pascal-1. Dans le cas de l'eau de mer, XT =5 10-10 SI. Calculer la variation de masse volumique Dµ de l'eau pour une élévation de pression DP = 106 Pa au voisinage de µ0. Conclure. Dµ = XT µ0 DP = 5 10-10* 999,98 * 106 =0,50 kg m-3. Variation relative : 0,50 / 999,98 = 5 10-4 ( 0,05 %) Dans le domaine considéré, l'eau est pratiquement incompressible. On rappelle la realtion fondamentale de la statique des fluides dans le champ de pesanteur terrestre : dP / dz = -µg. Avec µ masse volumique du fluide et z altitude comptée sur un axe orienté vers le haut. On considèrera par la suite que l'eau est un liquide  incompressible de masse volumique µ = 1000 SI. Le champ de pesanteur est supposé uniforme avec g = 9,8 m s-2. On choisit l'origine des altitudes à la surface de l'eau où la pression est P0 = 105 Pa. Montrer qu'à la profondeur z < 0 la pression est donnée par l'expression P(z) = P0-µ0 g z. dP = -µ0g dz ; intégrer entre 0 et z : P(z) - P0 = -µ0g z ; P(z) = P0  -µ0g z. A.N : z = -30 m ; P(z) = 105 - 103*9,8*(-30) = 3,94 105 ~ 4 105 Pa. Dans l'eau, tous les 10 m, la pression augmente d'environ 1 bar. Plongée autonome avec bouteille. Remplissage de la bouteille. Afin d'effectuer le remplissage d'une  bouteille de plogée à paroi indéformable de volume VB, on utilise un compresseur constitué d'un cylindre, de deux soupapes S et S' et d'un piston mobile sans frottement entre les positions extrèmes AA' et BB'. Lors de l'aller du piston, la soupape S est ouverte alors que s' est fermée ; on a alors l'admission de l'air atmosphérique dans le cylindre à la pression P0. Lors du retour, la soupape S se ferme et la soupape s' s'ouvre dès que la pression dans le cylindre devient supérieure à celle de la bouteille PB. Quand le piston est en AA', le volume limité par le piston et la section CC' est Vmin ; quand le piston est en BB', ce volume est égal à Vmaxi. Les transformations de l'air sont isothermes ; les températures dans le cylindre, la bouteille et l'air extérieur sont &gales à Ta ; l'air est assimilé à un gaz parfait. R = 8,31 J K-1 mol-1. La pompe n'ayant pas encore fonctionné, l'état initial du système est le suivant : - Bouteille : PB = P0. - cylindre : pression P0; piston en BB'. Le piston se déplace jusqu'en AA'. Déterminer, en fonction de P0, VB, Vmin, Vmaxi, la pression P1 dans la bouteille à la fin de ce déplacement. Loi de Mariotte : P0 (Vmaxi +VB ) = P1 (VB + Vmini) ;  P1= P0 (Vmaxi +VB ) / (VB + Vmini). A.N : P0 = 105 Pa ; Vmini = 0,02 L ; Vmaxi = 2 L ; VB = 5 L ; Ta = 293 K. P1= 105* 7 / 5,02 = 1,4 105 Pa. Après n coups de pompe, on peut montrer que la pression Pn dans la bouteille vérifie la realtion : P0 Vmaxi +Pn-1VB = Pn (VB + Vmini) avec Pn-1 la pression dans la bouteille après n-1 coups de pompe. Le graphe ci-dessous montre l'évolution de  la pression dans la bouteille en fonction du nombre de coups de pompe donnés. Retrouver l'expression de PL en fonction de P0, Vmin et Vmax à partir de l'expression donnant Pn. P0 Vmaxi +Pn-1VB = Pn (VB + Vmini) ; on pose A = VB + Vmini ; B = Vmaxi +VB ; n = 1 : P0 Vmaxi +P0VB =AP1 ; P1= BP0  / A + P0VB / A. n = 2 : P0 Vmaxi + P1VB =A P2 ; P2= P0 Vmaxi  / A + BP0 VB / A2 + P0V2B / A2. n = 3 : P0 Vmaxi + P2VB =A P3 ; P3= P0 Vmaxi  / A + P0 VBVmaxi  / A2 + BP0 V2B / A3 + P0V3B / A3. Pn= P0 Vmaxi  / A [ 1 + VB  / A +(VB  / A)2+.......+ (VB  / A)n-2 + BP0 Vn-1B / An + P0VnB / An. Les deux derniers termes tendent vers zéro, le dénominateur étant supérieur au numérateur. VB  / A +(VB  / A)2+.......+ (VB  / A)n-2  suite géométrique de raison q=VB  / A, de premier terme a = VB  / A . La somme des terme vaut : a(1-qn-2) / ( 1-q) ;  q est inférieur à 1 : qn-2tend vers zéro. a(1-qn-2) / ( 1-q) ~ a / (1-q) = VB / (A-VB). 1+VB / (A-VB) =A / (A-VB) ; PL= P0 Vmaxi  /(A-VB) =  P0 Vmaxi  / Vmini= 105 *2 / 0,02 = 107 Pa. On retrouve la valeur du graphique. Plongée avec détendeur. On fera l'hypothèse que , en plongée, la pression dans l'eau obéit à la loi précédemment établie : P(z) = P0 - µ0gz. Le détendeur, inséré entre bouteille et la bouche du plongeur assure plusieurs fonctions : - il réduit la pression de l'air issu de la bouteille à la pression P(z) de l'endroit où se trouve le plongeur ; -il fournit la quantité d'air nécessaire à la respiration du plongeur ; - il se bloque lorsque la pression pB de l'air dans la bouteille devient de l'ordre de la pression critique PC en dessous de laquelle il ne faut pas descendre pour raisons de sécurité. Au début de la plongée, la bouteille de volume VB est remplie d'air à la température Ta sous la pression P. Calculer le nombre de moles d'air ni contenues dans la bouteille si PB = 107 Pa. Loi des gaz parfaits : ni = PB VB / (RTa) =107*5 10-3 / (8,31 *293) =20,54 mol ~ 20 mol. Lorsque le détendeur se bloque, la pression dans la bouteille devient PC = 4 105 Pa. Calculer le nombre de moles d'air nF restant dans la bouteille. nF = PC VB / (RTa) =4 105*5 10-3 / (8,31 *293) =0,82 mol ~ 0,8 mol. En déduire le volume V de gaz que peut respirer le plongeur à la profondeur z. n = ni -nF =20,54 - 0,82 = 19,72 mol V = nRT / P(z) avec P(z) =  3,94 105 à la profondeur de 30 m. V = 19,72 *8,31*293 / 3,94 105 =0,122 m3 ~0,12 m3. Les poumons ont une capacité VP et la fréquence de respiration du plongeur est f. En déduire, en fonction de V, VP et f la durée Dt de plongée avant que le détendeur se bloque. En T = 1/f seconde le plongeur absorbe un volume VP d'air ;  en Dt seconde le plongeur absorbe un volume V d'air. Dt  = V T / Vp = V /( VPf ). A.N : Vp = 2 L ; f = 0,2 s-1. Dt  =122 / (2*0,2) =305 s ~ 5 min. ..

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