Aurélie 23/08/11
 

 

    Dipole RL : concours Geipi 2011.

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Afin de déterminer la résistance d’une bobine, on réalise un circuit série comprenant :
• un générateur de tension continue E = 4,50 V et de résistance interne négligeable,
• la bobine d’inductance L = 150 mH de résistance r inconnue,
• une résistance étalonnée R de 10,0 Ω ,
• un interrupteur K.
On branche aux bornes de la résistance R une carte d’acquisition informatisée permettant de visualiser les variations de la tension uR(t) après la fermeture de l’interrupteur K à t = 0.

Indiquer les points où doivent être branchés la masse M et la voie d’entrée Y de la carte d’acquisition.
Pour visualiser la
la tension uR(t) = uCD, le point D est relié à la masse et le point C est relié  à la voie d'entrée Y.
Donner l'expression de la tension aux bornes de la bobine uB(t) en fonction de i(t).
uB(t) = Ldi/dt + ri.
Justifier qu’en introduisant la tension uR(t) aux bornes du résistor R, l’équation différentielle suivie par uR(t) s’écrit sous la forme : E = (1+r/R) uR +L/RduR/dt.
Additivité des tensions : E = uR + uB ; de plus uR = Ri ; di/dt = 1/R duR/dt.
E =
uR + L/R duR/dt + r/R uR ; d'où : E = (1+r/R) uR +L/RduR/dt. (1)



La solution de cette équation différentielle est de la forme : uR(t) = A + B exp (-t / τ).
Donner les expressions de A et τ en fonction des éléments du circuit.
duR/dt= -B/t
exp (-t / τ).
Repport dans (1) : E =
(1+r/R)A + B (1+r/R) exp (-t / τ) - L/R B/t exp (-t / τ).
On identifie :
E = (1+r/R)A soit A = E / (1+r/R).
B (1+r/R) exp (-t / τ) - L/R B/t exp (-t / τ)=0 ; (1+r/R) = L/(R t)
soit t =L /  (R+r).

Déterminer l’expression de B à partir de la condition initiale sur la valeur de uR à la fermeture de l’interrupteur K.
La bobine introduit un retard à l'établissement du courant, i(0+) = 0 et uR(0+) = Ri(0+) =0.
uR(0+) = A + B exp (0) = A+B = 0 soit B = -A = -E / (1+r/R).
A partir de l’enregistrement de uR(t), déterminer, en indiquant précisément la méthode utilisée, la valeur numérique de τ. En déduire la valeur de la résistance r de la bobine.

R+r = L/t ; r = L/t -R = 0,150 / 7 10-3 -10,0 =11,4 ohms.



Après un temps suffisamment long Δt, le régime permanent est atteint et on branche aux bornes B et C de la bobine un voltmètre numérique qui indique 2,494 V pour la tension uB.
Calculer l’ordre de grandeur de la valeur minimale de Δt.
Δt est de l'orre de 5 fois la consante de temps t : Δt ~ 5*7 = 35 ms.
Donner l’expression de la tension uB en régime permanent.
L'intensité, notée I, est constante en régime permanent : dI /dt = 0 et uB = rI.
Additivité des tensions : E = uR + uB = RI + rI ; I = E/(R+r).
uB =E r /(R+r).









Donner l’expression et calculer la valeur de r à partir de la valeur de la tension lue sur le voltmètre.
uB =E r /(R+r) ; uB(R+r) = E r ; R uB =r(E- uB)
r =
R uB / (E- uB)
r = 10,0 *2,494 / (4,50-2,494) =12,4 ohms.
Donner l’expression et calculer l’énergie WB emmagasinée dans la bobine.
WB = ½LI2 avec I = E/(R+r).
 WB = ½L E2/(R+r)2.
WB = ½*0,150*4,52/(10,0+12,4)2=3,0 10-3 J.








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