En
secouant doucement la lampe pendant 30 s, de l'énergie électrique est
produite et stockée dans un condensateur. Vous avez alors environ 20
min d'une lumière produite par une DEL.
Si vous n'utilisez pas toute l'énergie elle restera stockée dans le
condensateur durant plusieurs semaines pour être immédiatement
disponible sur simple pression du bouton.
le condensateur a une capacité de 1 F et peut stocker une énergie égale
à 12 J. Il perd 8 mJ par heure. http://www.lampesdepoche.com.
On considère qu'en secouant la lampe pendant 30 s le condensateur est chargé et la tension entre ses bornes est U0 = 3,6 V.
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Le dipôle RC.
On étudie la décharge du condensateur de capacité C = 1,0 F à travers un conducteur ohmique de résistance R.
A t=0 on ferme l'interrupteur et la décharge débute.
Etablir l'équation différentielle vérifiée par uc(t) et montrer qu"elle peut s'écrire sous la forme :
duc/dt + 1/t uc = 0 avec t = RC.
Additivité des tension uc + uR = 0.
uR = -R i ; i = -dq/dt = -Cduc/dt.
Par suite : uc +RCduc/dt = 0 ; duc/dt + 1/(RC) uc = 0.
Vérifier par analyse dimensionnelle que la constante de temps est homogène à un temps.
Energie stockée par le condensateur : ½Cuc2 : C s'exprime en J V-2.
Energie dissipé par effet Joule : RI2 t =U2t / R : R s'exprime en V2 s J-1.
Par suite RC s'exprime en seconde.
Montrer que uc(t) =U0 exp(-t/ t) est solution de l'équation précédente.
duc/dt =-U0 / t exp(-t/ t) ; repport dans l'équation différentielle :
-U0 / t exp(-t/ t) +1/(RC)U0 exp(-t/ t) = 0
(-1/t +1/(RC))U0 exp(-t/ t) = 0 est bien vérifiée quel que soit le temps.
En déduire qu'une durée d'environ 5 t permet une décharge complète du condensateur.
uc(5t) =U0 exp(-5) = 6,7 10-3 U0 ~0.
uc(5t) étant proche de zéro, la décharge est presque complète à t = 5 t.
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Si on considère que cette durée est égale à 20 min, déterminer la valeur de R.
RC = 4 min = 4*60 = 240 s ; C = 1,0 F ; R = 2,4 102 ohms.
Energie emmagasinée dans le dipôle RC.
Lors du secouement de la lampe, il y a conversion d'énergie.
Choisir parmi les propositions suivantes celle qui décrit le mieux la situation :
a) conversion d'énergie électrique en énergie mécanique.
b) conversion d'énergie chimique en énergie électrique.
c) conversion d'énergie mécanique en énergie électrique. Vrai.
d) conversion d'énergie mécanique en énergie chimique.
Rappeler l'expression de l'énergie E(t) stockée par le condensateur.
E(t) = ½Cuc(t)2.
Calculer Emax. Vérifier qu'elle ne dépasse pas les performances annoncées par le constructeur.
Emax = ½CU02=0,5 *1,0 *3,62 =6,48 ~6,5 J.
Cette valeur est inférieure à 12 J, performance annoncée.
Vérifier par un calcul que la lampe ne pourra pas fonctionner sans être " secouée" après plusieurs semaines sans utilisation.
8 mJ sont perdus chaque heure de non utilisation.
Le condensateur sera déchargé au bout de : 6,5 / 0,008 ~812 heures soit environ 5 semaines.
Simulation de l'éclairage.
On peut simuler le fonctionnement de la lampe en ajoutant en série, dans le circuit de décharge, une DEL composant polarisé.
Une diode ne laisse passer le courant que dans le sens indiqué,sur le
schéma ci-dessous ( appelé sens passant ) et à condition que la tension
ud entre ses bornes soit supérieure ou égale à une tension de seuil soit ici Useuil = 3,0 V. De plus, on considère que la diode possède une résistance r supposée constante.
Ajouter sur le schéma, en série avec la résistance R, une DEL qui laisse passer le courant lors de la décharge du condensateur.
Pourquoi le condensateur ne peut-il se décharger complètement ?
Lorsque la tension aux bornes de la diode devient inférieure à Useuil, la diode est non passante. L'intensité est nulle et uc = Useuil, différente de zéro.
La durée d'évolution de la tension aux bornes du condensateur de 3,6 V à 3,0 V est-elle modifiée par la préDEL ? Justifier.
La diode possède une résistance r ; la constante de temps du circuit devient (R+r) C. La durée d'évolution de la tension uc(t) est modifiée.
Pour décharger complètement le condensateur dans le montage précédent on propose plusieurs solution :
inverser le sens de la diode ; augmenter la valeur de R ;
court-circuiter le condensateur, court-circuiter la diode; enlever la
diode en laissant le circuit ouvert.
Choisir la ou les solution(s) permettant la décharge complète en donnant un argument justifiant ce choix.
En court-circuitant le condensateur par un fil de cuivre, les électrons passent de l'armature négative à l'armature positive.
En court-circuitant la diode non passante par un fil de cuivre, la
décharge du condensateur peut se poursuivre à travers le conducteur
ohmique R.
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