Aurélie 20/03/12
 

 

   Une alarme d'appartement, circuit RC,  concours Manipulateur radio Bordeaux, Toulouse 2011.


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Alarme d'appartement.
Après avoir mis sous tension l'alarme d'un appartement, il faut pouvoir disposer d'une durée suffisante pour sortir sans la déclencher. Pour cela certains dispositifs utilisent la charge et la décharge d'un condensateur. Le circuit est alimenté par une batterie d'accumulateurs de force électromotrice (f.e.m.) E. Le schéma simplifié de l'alarme est le suivant.
La mise sous tension de l'alarme correspond à la fermeture de l'interrupteur (K). Le circuit de commande de la sirène est tel qu'à la fermeture de la porte de l'appartement, le condensateur est mis en court-circuit (ses armatures sont alors reliées par un fil conducteur non représenté sur le schéma).

Si la porte n'est pas fermée, l'alarme se déclenche dès que la tension aux bornes du condensateur atteint 8 V. A la fermeture de la porte, le condensateur est mis en court-circuit par un fil conducteur entre les deux armatures.
Les variations de la tension uc aux bornes du condensateur à la fermeture de l'interrupteur K, porte ouverte, sont représentées ci-dessous :
Déterminer graphiquement la constante de temps t du circuit et en déduire la valeur de la capacité du condensateur.

t = RC ; C = t / R = 50 / (50 103) = 1,0 10-3 F.

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Déterminer la durée D t dont dispose l'habitant pour quitter l'appartement et fermer la porte, en indiquant clairement cette durée sur le graphe.

Calculer l'énergie emmagasinnée par le condensateur durant cet intervalle de temps.
½Cuc2=0,5 * 1,0 10-3* 82 =3,2 10-2 J.



Etude d'un circuit RC.

Un générateur de tension constante E = 5,0 V alimente un conducteur ohmique de résistance R = 1,0 103 ohms et un condensateur de capacité C associés en série. Un dispositif d'acquisition de données relié à un ordinateur permet de suivre l'évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps. A la date t=0, le condensateur est initialement déchargé, on ferme l'interrupteur K et l'ordinateur enregistre la tension dont l'évolution est donnée :
Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension uc en fléchant les tensions utilisées.
Additivité des tensions : Ri + uc = E avec i = dq/dt = C duc/dt.
RC duc/dt + uc = E.
La solution de cette équation différentielle est du type uc(t) = E(1-exp(-t / (RC)).
Déterminer graphiquement la constante de temps t du circuit.( Expliquer la méthode utilisée ).
( Ne possédant pas l'annexe 1, ceci n'est pas la courbe originale )

En déduire la capacité C.
t = RC ; C = t / R = 15 10-3 / (1,0 103) = 1,5 10-5 F.





A partir de l'expression de uc(t), montrer que le courant i(t) durant la charge peut se mettre sous la forme i(t) = A exp(-kt). On exprimera A et k en fonction des paramètres.
uc(t) = E(1-exp(-t / (RC)) ; duc/dt = E / (RC) exp(-t / (RC)).
i(t) = dq/dt = C
duc/dt =E / R exp(-t / (RC)).
On identifie A à E/R et k à 1/(RC).
Que vaut l'intensité en régime permanent ? décrire le phénomène physique expliquant cette valeur.
Au bout d'un temps suffisamment long le condensateur est chargé : l'intensité du courant est nulle. En courant continu, un condensateur chargé se comporte comme un interrupteur ouvert.
Analogie entre deux phénomènes.
Loi de croissance radioactive :  N(t) = N0 exp(-l t).
Intensité du courant de charge d'un condensateur  :
i(t) = E / R exp(-t / (RC)).
En déduire l'équivalent de la constante radioactive l pour le circuit RC.
l est équivalent à k = 1/(RC) ; tous deux sont l'inverse d'un temps.
Par analogie avec l'équation différentielle régissant N(t), trouver l'équation différentielle vérifiée par i(t) au cours de la charge.
dN(t) /dt + l N(t) = 0 ; di(t) / dt + 1/(RC) i(t) = 0.






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