Système GPS : satellite en orbite circulaire, Capes 2014.

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On se propose d'étudier le mouvement des satellites autour de la terre dans le référentiel géocentrique, suposé galiléen. On considère la terre comme une sphère homogène de rayon R, de centre O et de masse M. On note G la constante de gravitation universelle.
On repère un point M par ses coordonnées sphériques (r, q, f) dans le référentiel géocentrique.
Situé l'époque à laquelle le premier satellite artificiel a été lancé.
Le premier satellite artificiel, Spoutnik1, a été lancé en 1957.
Déterminer à l'aide de considérations de symétrie la direction du champ gravitationnel créé par la terre en un point M quelconque de l'espace.
Tout axe passant par O est un axe de symétrie de la distribution et donc du champ de gravitation résultant. Ce champ est nécessaitrement radial et sa valeur ne peut dépendre que de r= OM.
Enoncer le théorème de Gauss relatif à la gravitation.
Le flux du champ de gravitation à travers une surface fermée est égal à la somme des masses intérieures multipliée par - 4pG.


En déduire l'expression du champ de gravitation créé par la terre en un point extérieur à celle-ci.
On prend comme surface de Gauss une sphère de rayon r : sur cette sphère le champ de gravitation a une norme constante et est colinéaire au vecteur surface.
Pour r supérieur au rayon de la répartition de masse, la somme des masses intérieures est m1= M.
g(r) 4pr² = -4pGm1.
g(r) = - Gm1/r²


Par suite, le champ gravitationnel créé à l'extérieur par un corps à  distribution de masse à symétrie sphérique est équivalent à celui d'une mase ponctuelle, égale à la masse du corps, et située en xon centre.
Quelle est la force exercée par la terre sur un satellite de masse m en orbite autour de la terre ?

En déduire que la trajectoire est plane.
Ecrire le théorème du moment cinétique en O :
La trajectoire est plane : ce plan contient le point O et le vecteur force F. Ce plan est perpendiculaire au moment cinétique.


On suppose que l'orbite du satellite est circulaire de centre O et que le satellite est situé à une altitude h = 20,2 103 km. On repère le satellite par des doordonnées polaires ( r = R+h, q ) dans le plan de la trajectoire.
Exprimer les composantes de l'accélération du satellite en coordonnées polaires en fonction de la norme v de la vitesse, de sa dérivée par rapport au temps dv/dt et du rayon r.

Montrer que le mouvement du satellite est nécessairement uniforme.

La valeur de la vitesse étant constante, le mouvement est uniforme.
Déterminer la norme de la vitesse en fonction de G, M et R+h.
v2 = GM/r = GM((R+h) ; v = (GM/(R+h))½.
En un point de la surface de la terre, on assimile de champ de pesanteur, d'intensité g, au champ de gravitation.
 Exprimer v en fonction de g et R+h.
g = GM/R2 ; v = (gR2/(R+h))½ = R(g/(R+h)½.
A.N : R = 6,37 103 km ; g = 9,81 m s-2.
v = 6,37 106 (9,81 / (6,37 106 +20,0 106))½ =3,87 103 m /s.

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Relier la période de rotation du satellite T aux paramètres G, M et R+h.
Le satellite décrit la circonférence 2p(R+h) à la vitesse v en T secondes.
v = 2p(R+h) / T ; v2 = 4 p2(R+h)2/T2.
or v2 = GM / (R+h) : 4 p2(R+h)3/T2 = GM ou T2 = 4 p2(R+h)3/(GM). ( 3è loi de Kepler).
Enoncer la 3è loi de Kepler et situer l'époque où a vécu J. Kepler.
Pour toutes les planètes du système solaire, dans le référentiel héliocentrique, le rapport entre le carré de la période de révolution d'une planète autour du soleil et le cube de son demi-grand axe orbital est égal à une même constante. J. Kepler ( 1571 - 1630).
On souhaite que la période de révolution des satellites du système GPS soit égale à la moitié de la durée du jour solaire.
Evaluer l'altitude des satellites de la constellation GPS.
v = 2p(R+h) / T ; R+h = vT /(2p) =3,87 103 *12*3600 / 6,28 =2,66 107 m ; h = 2,66 107 -6,37 106 =2,03 107 m = 2,03 104 km.
Montrer que la force de gravitation est conservative.
L"énergie totale d'un système soumis à une force conservative est constante. Il suffit alors que cette force dérive d'un potentiel, noté Ep.
 Ep = -GMm/r. F = dEp/dr = GMm/r2. L'origine de l'énergie potentielle de gravitation est prise à l'infini.
On note Ec l'énergie cinétique du satellite.
 Vérifier que 2Ec+Ep=0. Ce résultat est connu sous le nom  de théorème de viriel.
v2 = GM/r ; 2Ec+Ep = mv2 -GMm/r = GMm/r-GMm/r =0.
D'un point Q, situé sur terre, dans le plan de l'orbite du satellite P, on ne peut observer ce satellite que pendant l'intervalle de temps t entre son apparition à l'horizon, en A, et sa disparition, en B.

 Déterminer géométriquement l'expression de l'angle f0.
cos f0 = OQ / OA = R / (R+h). f0 =arcos(R / (R+h)) =arcos(6,37 / (6,37+20,2)) =0,240 ; f0 =76,1° ou 1,33 rad.
 En déduire la longueur de l'arc AB.
Longueur de l'arc AB : arc(AB)=2f0 (R+h) avec f0 en radians.
Relier t à la longueur de l'arc AB, T et R+h.
2p(R+h) = v T ; arc (AB) =2f0 (R+h) = v t  = 2p(R+h) t / T ; t = f0 T / p.
En déduire t en fonction de h, g et R.
La troisième loi de Kepler conduit à T = 2p(R+h)1,5 / (Rg½ )  ;  t = f0 T / p = 2  f0  (R+h)1,5 / (Rg½ ).
Vérifier la dimension de t.
(R+h)1,5 s'exprime en m1,5 ; g½ s'exprime en m½s-1 ; (Rg½ ) s'exprime en m1,5s-1 ; (R+h)1,5 / (Rg½ ) s'exprime en seconde.
A.N : t =2*1,33 *(6,37 106 +20,2 106)½ / (6,37 106 *9,81½) =1,83 104 s ou 5,07 h.
Calculer le rapport T/t.
 T/t=12/5,07 =2,36.
Pour les besoins du système GPS, on dispose régulièrement sur une même orbite un ensemble de satellites identiques, appelés " train de satellites".
Calculer le nombre minimal de satellites nécessaires pour former un "train" afin que tous les points au sol , dans le même plan de l'orbite, voient au moins un satellite à tout instant.
 T/t=2,36 : un train doit être formé d'au moins trois satellites.
 




Supposons maintenant qu'un satellite est visible s'il est à plus de a0 = 30 ° au dessus de l'horizon. Ainsi le satellite est visible depuis Q lorsqu'il est entre A' et B'.

En projetant A' sur OP, déterminer une relation liant f'0, a0, R et R+h.
Soit H la projection de A' sur OP : sin f'0 = HA' /OA'=HA' / (R+h) ; tan a0 =QH/HA' ; sin f'0 tan a0 =QH/(R+h).
cos f'0 =OH/(R+h) = (R+QH) / (R+h) ; (R+h)cos f'0 = R+QH =R+(R+h)sin f'0 tan a0 ; on pose h = R/(R+h).
cos f'0 =h+ sin f'0 tan a0.
Montrer que u = cos f'0  vérifie pour a0 = 30°, l'équation : u2-1,5 hu+0,75h2-0,25 = 0.
tan 30° =0,577 ; u = h+ 0,577 sin f'0 ; u = h+ 0,577(1-u2)½ ; (u-h)2 = 0,5772(1-u2).
u2+h2-2uh =0,333 -0,333 u2.
1,333 u2 +h2-2uh =0,333 ; u2 -1,5 uh +0,75 h2-0,25 =0.
Résoudre cette équation et en déduire la valeur de f'0. h = 6,37 / (20,2+6,37) = 0,24.
u2-0,36 u-0,207 = 0. D = 0,362+4*0,207=0,9576 ; u1 =(0,36+0,98) /2 = 0,67 et u2 =(0,36-0,98) /2 = -0,31.
f'0 =  48° ( 0,84 rad ) ou 108°. 108 ° ne peut convenir ( voir figure ci-dessus ).
Quelle est la nouvelle durée de visibilité t' ? Quel est alors le nombre minimal de satellites dans un "train" ?
t' = f'0 T / p = 0,84 *12/3,14 = 3,2 h : un "train " doit compter au minimum 4 satellites.
Dans la constellation du système GPS, les 24 sattellites utilisés évoluent sur 6 plans orbitaux ayant une inclinaison d''environ 55° sur l'équateur. Ces orbites sont séparées de 60° les unes par rapport aux autres et contiennent un train de 4 satellites.
Citer le nom du projet européen de positionnement par satellite et décrire l'état actuel de son fonctionnement.
 Le projet Galiléo : 4 satellites ont été lancés ; les premiers services seront disponibles en 2014 ; le système devrait être finalisé en 2020.



  


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