Protection électrique, fusible, disjoncteur différentiel. Concours Caplp maths sciences 2014

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La protection électrique.
Préciser le rôle d'un coupe-circuit à cartouche fusible et celui du disjoncteur différentiel dans la protection électrique domestique.
Un "fusible" protège un circuit électrique vis-à-vis de court-circuits ou de surintensités conséquence d'une défaillance de la charge alimentée. Les appareils ne sont pas détruits et un départ d'incendie est évité.
Le disjoncteur différentiel permet l'interruption du courant électrique en cas d'incident sur un  circuit électrique ( surcharge, court-circuit). Il assure aussi la détaction d'une différence d'intensité entre la phase et le neutre dans le cas d'un défaut d'isolation. Il est réarmable contrairement à un fusible.
Un tel dispositif protège à la fois l'installation et les personnes.
Proposer une correction de l'exercice suivant.
Déterminer le fusible et la section du fil qu'il convient de choisir pour alimenter le lave-linge dont les caractéristiques sont : 220 - 230 V ; 50 Hz ; 2300 W.
Puissance maximale ( kW)
 Fusible
 Section des conducteurs (mm2)
3,7
 16
 2,5
4,6
 20
 4
7,4
 32
 6
D'après la norme NFC-15-100 :
 La puissance du lave linge ( 2,3 kW) étant inférieure à 3,7 kW, un fusible de 16 A sera utilisé. La section des fils de la ligne sera de 2,5 mm2.
Justifier qu'il est légitime de supposer que, dans un coupe-circuit à fusible, la silice assure une isolation électrique et thermique parfaite.
Le fusible comprend un fil, alliage fusible, monté dans un corps isolant électrique contenant de l'air, ou de la poudre de silice capable d'absorber l'énergie thermique dégagée par la fusion de l'alliage.
gsilice = 10-16 Sm-1, valeur très faible correspondant à celle d'un isolant électrique.
l=1,4 SI , valeur faible correspondant à un isolant thermique.
Enoncer la loi du transfert thermique par conduction dite de Fourier, en précisant les grandeurs et unités utilisées.
La densité de flux thermique est proportionnelle au gradient de température.

l s'exprime en W m-1K-1 ; j , conductivité thermique, s'exprime en W m-2 ; T s'exprime en kelvin..
Le vecteur densité de courant de chaleur possède le sens des températures décroissantes, d'où le signe moins dans la loi de Fourier.
A l'aide d'un bilan de puissance sur une portion élémentaire de longueur dx du fil fusible, montrer que la loi d'évolution de la température en régime permanent est :

On considère, un fil homogène ( résistivité électrique r ), de longueur L et de section S, parcouru par un courant électrique uniforme et constant d'intensité I.

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Puissance P dissipée par effet Joule : P= RI² avec R=rL/S ; volume du fil V= LS.
Puissance p dissipée par unité de volume p= P/V = rI2/S2 en Wm-3.
Flux thermique de conduction qui entre par une surface S située à la distance x : -l S  (dT/dx)x.
Flux thermique de conduction qui sort par une surface S située à la distance x+dx : -lS (dT/dr )x+dx.
Elément de volume compris entre les  deux surfaces : dv= Sdx.
Puissance interne dans cet élément de volume : pdv = pSdx =rI2/S dx.
Bilan énergétique en régime permanent : rI2/S dx -lS (dT/dx)x+ lS (dT/dx )x+dx=0.
rI2/(lS2) dx - (dT/dx)x+  (dT/dx )x+dx=0.
rI2/(lS2) + d2T/dx2 =0.
solution du type T= ax²+bx+c ; dT/dx= 2ax+b ; d2T/dx2= 2a soit a = -rI2/(2lS2).
si x=0, T= c = T0 ; si x=L, T = T0 ( les embouts sont en contact avec l'air ambiant ).
si x = L : T0 = -rI2L2/(2lS2) +bL +T0 soit b = rI2L/(2lS2).
T =-rI2/(2lS2) x2+rI2Lx/(2lS2)+T0.
La conductivité électrique g est l'inverse de la résistivité électrique r.
Par suite T(x) =T0 +I2Lx/(2glS2) -I2/(2glS2) x2.
Vérifier que cette température atteint une valeur maximale au milieu du fil.
T(½L) =T0 +I2L2/(4glS2) -I2/(8glS2) L2.
T(½L) =T0 +I2L2/(8glS2).
De plus dT/dx = I2L/(2glS2) -2I2/(2glS2) x.
[dT/dx]½L = I2L/(2glS2) -I2/(2glS2) L =0.
La dérivée [dT/dx]½L =0 ; T(x) présente un extrémum en x = ½L.
En déduire par le calcul le calibre du fusible installé sur le lave-linge.
S = 4,0 10-9 m2 ; L = 0,025 m ; g =3,8 106 SI ; l = 2,5 106 SI.
Tmax=T0 +I2L2/(8glS2) = 20 + I2*0,0252/(8*3,8 106 *2,5 106*16 10-18) =20 +0,51 I2.
Tmax atteint la température de fusionTfusion =345,7 K = 72,7°C si  :
I = ((72,7-20)/0,51)½ =10 A.

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En période de canicule, la température de l'air ambiant peut atteindre la valeur T0 = 35°C.
Quelle est l'influence de cette grandeur sur le fonctionnement du fusible ?
La température de fusion sera atteinte pour une intensité I =((72,7-35)/0,51)½ = 8,5 A.
Il vaudra donc mieux installer un fusible de 16 A si on désire faire fonctionner le lave linge par canicule.
L'alliage utilisé pour le fusible a une température de fusion inférieure à celle des métaux qui le constituent ( bismuth et étain ).
Nommer ce phénomène et citer un autre exemple.
Un eutectique est un mélange de deux corps purs qui fond et se solidifie à température constante, minimale.
L'eutectique le plus connu est le mélange eau-sel. La glace forme un eutectique avec le sel, eutectique liquide à des températures négatives modérées.
Expliquer en quelques lignes comment fonctionne un disjoncteur différentiel. On étudie le fonctionnement d’un disjoncteur différentiel DDR, dont le schéma est donné ci-dessous :

En absence de défaut, les deux bobines sont parcourues par la même intensité : l’excitation magnétique est nulle et en conséquence il n'y a pas de f.e.m induite dans la bobine du circuit de déclenchement. Il n'y a pas de déclenchement.
En présence de défaut, les deux bobines sont parcourues par des intensités différentes : l’excitation magnétique n'est pas
nulle et en conséquence il y a une f.e.m induite dans la bobine du circuit de déclenchement. Il y a déclenchement si l'intensité du courant traversant cette bobine de déclenchement atteint une valeur suffisamment importante.
Ce système assure une bonne protection si la résistance de la " terre " est faible ; sinon l’excitation magnétique n'est pas assez grande pour induire une intensité assez importante dans la bobine de déclenchement.
On relève sur deux disjoncteurs différentiels différents les indications "30mA " et " 500mA ". Il s'agit des courants de fuite induisant le déclenchement.




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