Fusée
en direction d'Alpha du Centaure. Concours
Avenir 2014
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Cet exercice nous envoie dans le futur,
quand les fusées atteindront des vitesses proches de la vitesse de la
lumière. Il sera alors possible d’envisager la visite d’autres systèmes
stellaires, comme Alpha du Centaure (constitué de trois étoiles et au
moins une planète), situé à 4,3 années lumière de nous, soit 4×1016
m.
La fusée part de la Terre, en direction d’Alpha du Centaure, à t = 0 s
à vitesse nulle.
On fera l’approximation que dans le référentiel terrestre, considéré
galiléen, la trajectoire de la fusée est une droite.
Durant la phase d’accélération, l’accélération est maintenue constante
et limitée à 1 “G” (soit a = 10 m.s–2) pour des
raisons de confort. En négligeant les effets relativistes dans un
premier temps, on recherche l’ordre de grandeur de la durée de la phase
d’accélération.
L’accélération étant constante, on peut écrire la relation suivante,
avec Dv
la variation de la vitesse pendant la durée Dt a = Dv/Dt (exact
) ; a =½ Dt/Dv ; a = ½mDv2
; a =½Dv/Dt.
Pour
atteindre une vitesse (presque) égale à la célérité de la lumière dans
le vide, la durée Dt
de l’accélération est :
1,5 107 s ; 3 107 s
( exact ) ; 6 107 s ; 1,2 108
s.
Dt = Dv / a = 3 108 /10 = 3 107 s.
La
distance d parcourue lors de cette phase, en fonction du temps, est :
d = at ; d = ½at2+ct ; d = ½at2 (
exact ) ; d = ½at + ct2.
Le mouvement est rectiligne
uniformément accéléré avec une vitesse initiale nulle.
Pendant la phase d’accélération, la fusée parcourt la distance d = 5×1015
m. De même, il faudra prévoir une distance identique pour la
décélération jusqu’à l’arrivée dans Alpha du Centaure, puisque le
problème est symétrique.
Dans le référentiel terrestre, la durée de la phase centrale du trajet
(à vitesse constante) avant de commencer la décélération, est :
Dt
= 106 s ; Dt
= 107 s ; Dt = 108 s (
exact ) ; Dt
= 109 s.
Distance parcourue à vitesse
constante v ~3 108 m/s : 4 1016-2 *5 1015 = 3 1016 m.
Dt = 3 1016 / (3 108) =108 s.
Comme la fusée ne peut pas atteindre exactement la vitesse de la
lumière dans le vide, on cherche maintenant quelle vitesse précise lui
donner pour que malgré tout, dans le référentiel propre de la fusée, le
voyage paraisse raisonnablement court.
On donne la relation entre la durée du parcours Dt mesurée depuis
la Terre, Dt0
mesurée dans le référentiel propre de la fusée, v la vitesse de la
fusée (par rapport au référentiel terrestre) et c la vitesse de la
lumière dans le vide :
Dt0
= Dt (
1-(v/c)2)½.
Dans le référentiel de la fusée lancée à une vitesse très proche de la
célérité de la lumière dans le vide, l’expression de la vitesse v' de
la lumière est :
v'~0 ; v' = c( 1-(v/c)2)½
; v' = c( 1-(v/c)2)-½
; v' = c
(exact ).
Quelque soit
le référentiel la vitesse de la lumière dans le vide est une constante.
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On souhaite que la
phase à vitesse constante dure 100 fois moins longtemps dans le
référentiel propre de la fusée que dans le référentiel lié à la Terre.
La vitesse v de la fusée par rapport à la Terre doit être :
v = 0,99999½c ; v = 0,9999½c (
exact ) ; v = 0,999½c
; v = 0,99½c.
Dt0
/ Dt
=0,01 = ( 1-(v/c)2)½
; 1-(v/c)2
= 1 10-4 ; (v/c)2 =1- 1 10-4 = 0,9999 ; v = 0,9999½c.
À
mi-chemin, on envoie depuis la fusée un message radio en direction
d’Alpha du Centaure, à la fréquence f0 =
1 GHz. Quelle est l’affirmation exacte parmi les suivantes :
- pour recevoir le message, il faut “écouter” une fréquence supérieure
à f0 ; ( exact ) ;
- pour recevoir le message, il faut “écouter” une fréquence
inférieure à f0 ;
- le message arrivera plus tôt que si la fusée se déplaçait en sens
inverse ;
- à la réception, le texte du message semblera accéléré.
Le
voyage à bord de la fusée dure environ deux ans. Le message radio que
l’on envoie à mi-parcours en direction d’Alpha du Centaure, arrivera à
destination :
- 1 heure avant la fusée (3×103 s)
- 0,9 an avant la fusée (339 jours)
- 1,15 an avant la fusée
- on ne peut pas le dire, cela dépend du référentiel. ( exact ).
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En
octobre 2012, une équipe de chercheurs européens a découvert une
planète en orbite autour d’une des étoiles les plus proches de nous,
Alpha du Centaure B.
Quand une planète est en orbite autour de son
étoile, l’étoile elle-même n’est pas tout à fait immobile, même quand
elle est beaucoup plus massive. En effet, puisque l’étoile exerce une
force gravitationnelle sur la planète, la 3ème loi de Newton implique
que réciproquement, la planète exerce la même force gravitationnelle
sur l’étoile.
Les chercheurs ont effectué des mesures de la vitesse
radiale de l’étoile (la vitesse à laquelle l’étoile s’approche ou
s’éloigne de nous). En étudiant les conséquences de l’effet Doppler sur
la lumière que l’étoile nous envoie, ils ont déterminé que l’étoile
tourne autour du centre de gravité du système {étoile+planète} avec une
période de 3×105 s (qui correspond aussi à la période de révolution de la planète autour de l’étoile) et une vitesse orbitale moyenne de 0,5 m.s–1 (très faible mais mesurable !).
On
note T la période orbitale, M la masse de l’étoile, a le demi-grand-axe
de la trajectoire elliptique de la planète autour de l’étoile et G la
constante de gravitation universelle : G = 6,7×10–11 m3.kg–1.s–2. La 3ème loi de Kepler est :
a3/T2 = GM/(4p2) ( exact ) ; a2/T3 = GM/(4p2) ; T3/a2 = GM/(4p2) ; T2/a3 = GM/(4p2) .
La masse M de l’étoile est connue par ailleurs : M = 2×1030 kg. Le demi-grand-axe de l’orbite elliptique de la planète est :
(3 1031)½ = 5 1015 m ; (3 1029)1/3 = 7 109 m ( exact ) ; (3 1027)1/2 = 5 1013 m ; (3 1025)1/3 = 3 108 m.
GM/(4p2) ~6,7×10–11 *2 1030 / (40) ~3,35 1018 ; T2 =9 1010 ;
a = (3,35 1018 *9 1010 )1/3 = (3 1029 )1/3 =6,7 109 m.
On
cherche également à déterminer la masse de la planète. Pour cela il
faut d’abord calculer le demi-demi-axe de l’orbite que décrit l’étoile
autour du centre de gravité du système {étoile+planète}. Pour cela, on
suppose que cette trajectoire est circulaire : l’étoile décrit un
cercle de rayon r à la vitesse orbitale v = 0,5 m.s–1.
Le rayon de la trajectoire de l’étoile est :
r = vT/(4p2) ; r = 4 p2T/v ; r = 2 p T / v ; r = vT / (2p) ( exact ).
L'étoile décrit la circonférence 2 p r en une durée T à la vitesse v : 2 p r = v T.
Pour en déduire la masse de la planète, il ne restera qu’à exploiter les propriétés mathématiques du centre de gravité :
Métoile r = Mplanète a.
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