Loi de l'hydrostatique appliquée à la plongée, concours général 2013.

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La plongée sous-marine est une activité qui peut se pratiquer à différents niveaux : activité professionnelle
pour certains pêcheurs, sport extrême ou encore passe-temps et découverte d’un milieu naturel. Nous allons au cours de ce sujet aborder différents problèmes physiques nécessaires à une bonne compréhension et à une pratique en toute s´ecurité de ce sport. La plongée en apnée consiste à s´ejourner sous l’eau en retenant son souffle. La durée de l’apnée dépend des caractéristiques morphologiques du plongeur, mais aussi de facteurs extérieurs qui augmentent la consommation d’oxygène.
Citer trois facteurs qui peuvent modifier la durée de l’apnée.
La durée de l'apnée dépend du volume d'air dans les poumons, de l'état du plongeur ( activité musculaire, repos, stress ) du plongeur, de la température de l'eau.
Les lois de l’hydrostatique.
On s’intéeresse dans cette partie à l’évolution de la pression en fonction de la profondeur. On repère la surface de l’eau par son ordonnée z = 0. L’axe est orienté vers le bas. On suppose que le champ de pesanteur g est uniforme.La
pression dans un fluide de masse volumique r vérifie la relation de la statique de fluides : dP/dz = rg.

Donner la valeur de la masse volumique re de l’eau sous pression atmospérique P0 (c’est à dire pour z = 0).
re = 1,0 103 kg m-3 ou 1,0 g cm-3.
On suppose que l’eau est un liquide homogène et incompressible en équilibre dans le champ de pesanteur g = 9,81 m· s−2. La masse volumique de l’eau est donc supposée constante et égale à re.
 Montrer que la pression évolue avec la cote z selon la loi suivante : P = P0 +  regz (2)
dP = re g dz ; intégrer : P = re g z + cste.
P(0)= P0 = Cste ; P = P0 +  reg z .
P0 est la pression atmosphériqueet z la cote du point considéré.
Représenter sur une figure similaire à la figure ci dessus les isobares suivantes : P = P0, P = 2P0 et P(z).

Composition de l’air et ´equation d’état.
La durée de l’apnée d´epend de la capacité de chaque pratiquant à économiser l’oxygène contenu dans son organisme et ses poumons. En dehors des capacités génétiques et de l’état de forme du sujet, certains facteurs peuvent accentuer cette consommation d’oxygène. Il est alors important de comprendre le comportement de l’air inspiré en fonction de la profondeur. Nous allons, dans un premier temps et pour décrire certains phénomènes physiques assimiler l’air à un gaz
parfait : PV = nRT
où P est la pression, V le volume, n la quantité de matière en mol, R la constante des gaz parfaits
R = 8, 31 J ·K−1 ·mol−1, et T la température en kelvin (K). On définit la température en kelvin de la manière suivante :
T(K) = 273 + q( ◦C).
 Rappeler les unités dans le système international de la pression P et du volume V.
La pression s'exprime en pascal ( Pa) et le volume en m3.
On suppose que l’air que l’on inspire est constitué de 79% de diazote et de 21% de dioxygène.
Citer deux autres gaz présents dans l’air sous forme de trace.
Les gaz nobles , dioxyde de carbone, vapeur d'eau, méthane, ozone.
 Dans la suite, on négligera la présence des gaz autres que le diazote et le dioxygène.
Calculer la masse molaire de l’air.
M= M(N2)*0,79 +M(O2)*0,21 =28*0,79 +32*0,21 =22,12 +6,72 =28,84 ~28,8 g/mol.
L’air étant à la température T0 = 288 K et à la pression P0 = 1, 00.105 Pa, exprimer puis calculer le volume molaire de l’air, noté Vm0.
Vm0 =RT0/P0 =8,31*288/(1,00 105) =0,0239 m3/mol = 23,9 L/mol.
Toujours dans ces conditions, exprimer puis calculer la masse volumique de l’air. En déduire la masse d’air contenu dans un volume V = 1 L
rair =M/Vm0 =28,84 10-3 / 0,0239 =1,205 ~1,21 kg m-3 où 1,21 g/L.
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La pression partielle d’un gaz dans un mélange de volume VT est égale à la pression de ce gaz s’il occupait à lui seul le volume total VT.
 Exprimer les pressions partielles de dioxygène PO2 et de diazote PN2 en fonction de P0. Calculer PO2 et PN2 en bar.
PO2 = 0,21P0 =0,21 105 Pa ; PN2 = 0,79P0 =0,79 105 Pa.
Pour étudier les effets de l’apnée sur nos poumons, des scientifiques ont réalisé différentes expériences au début du vingtième siècle. L’une de ces expériences a été menée grâaceà un bathyscaphe.
Un bathyscaphe est un sous-marin conçu pour se déplacer principalement verticalement. Un ballon aux parois souples contenant le volume V0 = 1 L d’air à la pression atmosphérique (P0 = 1, 00.105 Pa) est attaché à un sous-marin initialement à la surface de l’eau. Des mesures ont permis de relever l’évolution du volume, et de la densité de l’air contenu dans le ballon lors de la descente du sous-marin en fonction de la profondeur z.
Dans la suite de cette question, l’air est assimilé à un gaz parfait et l’eau à un fluide incompressible. La température de l’océan est supposée homogène et égale à q0 = 15°C.
Calculer la quantité de matière nb et la masse mb d’air contenu dans le ballon.
nb=V0 /Vm0=1 /23,9 =4,184 10-2 ~4,2 10-2 mol ; mb ~1,2 g.
Représenter en fonction de z l’évolution de la pression au sein du ballon.

Exprimer le volume Vb du ballon en fonction de z.
Vb = nbRT/P =nbRT/(P0 + regz ).
Calculer le volume occupé par l’air de ce ballon dans la fosse des Mariannes située à une profondeur z =11000 m. Calculer r la masse volumique de l’air à une telle profondeur. Comparer à la masse volumique de l’eau.
En supposant la température et g constantes à cette profondeur : P =1000 *9,81*11000 + 1,00 105 =1,08 108 Pa.
Vb =4,184 10-2*8,31*288 / (1,08 108) ~9,3 10-7 L.
r =mb /Vb=1,2 10-3 / (9,3 10-7) ~1,3 103 kg m-3,supérieure à celle de l'eau.
On imagine qu’à cette profondeur, la ballon se perce. Que devrait-on observer ?
La masse volumique de l'air étant supérieure à clle de l'eau, les bulles d'air devraient couler.
 On réalise l’expérience et on observe que des bulles d’air remontent à la surface. Quelle est l’hypothèse à remettre en cause ?
La température et g ne sont pas constantes à cette profondeur. L'air ne peut plus être considéré comme un gaz parfait.

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Les scientifiques ont réalisé différentes mesures lors de la descente. Ils se sont intéressés au rapport a= PVm / (RT0) où Vm représente le volume molaire et où la température est constante et égale `a 15 ◦C :
P(bar) 1,00 100 150 200 250 300 350 400 500 600 700
a 0,945 0,981 0,997 1,025 1,064 1,109 1,157 1,212 1,333 1,452 1,575
rair(kg m-3) 1,27 122 180 234 282 325 363 396 450 496 533
Exprimer la masse volumique rair de l’air contenu dans le ballon en fonction d’abord du volume molaire Vm et de la masse molaire Mair de l’air. En déduire l’expression de la masse volumique rair en fonction de la pression P, du coefficient a, de la température T0, de la masse molaire Mair et de la constante des gaz parfaits R.
rair = Mair / Vm =Mair P /(a RT0 ) =0,0288/(8,31*288) P/a =1,20 10-5 P/a.
La mesure du coefficient a  la pression P = 1 bar est-elle conforme à la valeur attendue ? En quoi est-ce surprenant ?
 a= P0Vm / (RT0) =1,00 105*0,0239/(8,31*288)~1 dans le modèle des gaz parfaits.
Représenter  la courbe repésentant la masse volumique en fonction de la pression. Représenter la courbe obtenue en appliquant le modèle du gaz parfait. Conclure.

Donner un ordre de grandeur de la pression maximale permettant de travailler dans l’hypothèse des gaz parfaits. Exprimer la profondeur correspondante. Est-ce restrictif ?
Jusqu'à une pression de 200 bars ( profondeur : 2000 m), les deux courbes sont pratiquement confondues. Les plongées en apnée n'atteignent pas de telles profondeurs.





Dans la suite de l’épreuve, la profondeur maximale permettra de travailler en considérant que l’air se comporte comme un gaz parfait.
La plongée avec bouteille permet une plus grande liberté d’action du plongeur dans l’eau que l’apnée.
Désormais, nous allons nous intéresser à la plongée avec bouteille.
On appelle capacité pulmonaire le volume d’air pouvant être inspiré. Dans la suite, nous allons assimiler cette capacité pulmonaire au volume Vp des poumons. Nous supposons que le plongeur est en équilibre
avec le milieu extérieur : en particulier la pression de l’air `a l’intérieur des poumons est supposée égale à la pression extérieure. On note VpM le volume maximal des poumons, et Vpm le volume minimal.
On donne VpM = 5 L et Vpm = 1 L.
On suppose que le plongeur est à la profondeur z1 = 20 m. L’air de ses poumons occupe le volume Vp1 = 3 L (assimilé au volume de ses poumons). Le plongeur bloque sa respiration et en particulier n’expire pas. En reprenant la relation (2), exprimer le volume Vp(z) des poumons du plongeur à la profondeur z en fonction de z, z1, Vp1, re, g et P0.
P = P0 +  reg z ; P1 = P0 +  reg z1  ; P Vp(z)= nRT ; n = Vp1P1/(RT) =Vp1(P0 +  reg z1 )/(RT)
Vp(z)= Vp1(P0 +  reg z1 ) /(P0 +  reg z ) =Vp1P1/(P1 +  reg (z-z1) ).
Quel est le risque encouru par un plongeur qui se déplace verticalement ?
En remontant respiration bloquée, z diminue, le volume des poumons augmente, pouvant dépasé VpM.
En descendant respiration bloquée, z aumentee, le volume des poumons diminue, pouvant dépasé Vpm. Il en résultera des lésions graves des poumons.
Exprimer puis calculer les profondeurs limites au-del`a desquelles il peut subir des
l´esions (sa respiration ´etant toujours bloqu´ee). Conclure sur le comportement `a adopter lors de la remont´ee
`a la surface.



  

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