Probabilités, loi binomiale, loi normale. Bts maths groupe A 2014. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . On s’intéresse à un dispositif comportant deux composants électriques A et B montés en parallèle. Si un seul de ces deux composants est défaillant, le dispositif continue à fonctionner. Partie A. Dans cette partie, on étudie la durée de vie de ce dispositif. La durée de vie de chaque composant est une variable aléatoire. 1. On désigne par t un nombre réel strictement positif. On admet que la probabilité p(t ) que le composant A ait une durée de vie strictement inférieure à t est donnée par la relation suivante. Calculer la probabilité, arrondie à 10−2, que le composant A ait une durée de vie strictement inférieure à 1 000 heures. 2. Sur le document réponse 2 est donné l’arbre pondéré décrivant la situation du dispositif au bout de 1 000 heures. C1 désigne l’événement « le composant A est en état de fonctionnement » et C2 désigne l’événement « le composant B est en état de fonctionnement ». (a) Compléter l’arbre du document réponse 2 et indiquer le détail des calculs des probabilités dans la colonne « Probabilités ». (b) Déterminer la probabilité de l’événement C2. p(C2)=0,2211 +0,4489 =0,67. (c) Les événements C1 et C2 sont indépendants ? Justifier la réponse. (d) Calculer la probabilité, arrondie à 10−2, qu’au bout de 1 000 heures, le dispositif soit en état de fonctionnement. Le dispositif ne fonctinne pas si les deux composants A et B sonr défaillants. 1-0,1089 =0,8911 ~0,89. . . Partie B. Dans cette partie, les résultats approchés seront arrondis à 10−3 près. Une entreprise produit en grande série le composant A dont il est question dans la partie A. Une étude statistique permet d’admettre que la probabilité qu’un composant ait une durée de vie supérieure à 1 000 heures est 0,67. Les durées de vie des composants sont indépendantes les unes des autres. Pour un échantillon de 50 composants, on note X la variable aléatoire égale au nombre de composants ayant une durée de vie supérieure à 1 000 heures. 1. On admet que X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi. n = 50 ; p = 0,67 ; q = 0,33. 2. Calculer la probabilité p(X = 42). p(X=42) = C4250 p42 q50-42 =0,00374. 3. Ci-dessous est donné un extrait du tableau, obtenu à l’aide d’un tableur, donnant les valeurs des probabilités p(X <=k), où k désigne un nombre entier naturel appartenant à l’intervalle [0 ; 50]. À l’aide de ce tableau, déterminer la probabilité que le nombre de composants ayant une durée de vie supérieure à 1 000 heures parmi cet échantillon soit strictement supérieur à 42. p(X >42) =1-0,997973 ~0,002.  4. Sur l’annexe, le diagramme en bâtons représente les valeurs de p(X <=k) en fonction de k. (a) À l’aide de ce diagramme, déterminer le plus petit nombre entier naturel k1 tel que p (X <=k1) > 0,025, puis le plus petit nombre entier naturel k2 tel que p (X<=k2) > 0,975. k1=27 ; k2 = 40. (b) Peut-on affirmer : « le nombre de composants dont la durée de vie est supérieure à 1 000 heures appartient à l’intervalle [27 ; 40] avec une probabilité supérieure à 0,95 » ? Justifier la réponse. p(27<= X <=40) =0,975-0.025=0,95. L'affirmation est vraie. Partie C. Dans cette partie, on décide d’approcher la loi de la variable aléatoire X par la loi normale de moyenne 33,5 et d’écart type 3,3. On note Y une variable aléatoire suivant la loi normale demoyenne µ = 33,5 et d’écart type s = 3,3. 1. Justifier le choix des paramètres µ et s. µ= np = 50*0,67 = 33,5 ; s = (npq)½ =(30*0,67*0,33)½ =3,3. 2. Calculer la. probabilité P(Y <=42) arrondie à 10−2. P((Y-m) / s <=(42-33,5) / 3,3) =P((Y-m) / s <=2,57). Les tables donnent : P(Y <=42)~ 0,99. 3. Déterminer la plus petite valeur, arrondie à 10−1, du nombre réel a tel que p(33,5−a <= Y <= 633,5+a) >0,95. les tables donnenet t = 1,96 et a = 1,96*3,3 =6,5. .

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