Loi
normale, test d'hypotèse. Bts maths groupe D 2015.
En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.
|
|
.
.
|
|
|
|
|
|
|
|
L’entreprise
agroalimentaire Flavornuts fabrique des arômes naturels servant
à l’amélioration
des préparations culinaires pour la pâtisserie ou la cuisine. Elle les
conditionne dans des flacons
de 58 mL qu’elle achète à l’entreprise Verremballage, qui conçoit,
développe et commercialise
des solutions d’emballages primaires composées de flacons standards.
Partie
A : Etiquetage.
»L’étiquetage des denrées alimentaires préemballées est obligatoire
(articles R. 112-1 et suivants du code dela consommation). Certaines
mentions sont imposées par la législation, d’autres sont facultatives.
Toutes sont fournies par les fabricants, sous leur responsabilité.
L’étiquetage est constitué par « les mentions, indications, marques de
fabrique ou de commerce, images ou signes se rapportant à une denrée
alimentaire et figurant sur tout emballage, document, écriteau,
étiquette, bague ou collerette accompagnant ou se référant àa cette
denréee alimentaire (article R. 112-1 du code de la consommation). »
Une fois fabriquées, les étiquettes peuvent présenter deux défauts : un
défaut du visuel (graphisme,
photo, couleur . . . ) ou l’absence de la date limite de consommation.
On considère les évènements suivants :
A : « la date limite de consommation n’apparaî pas sur l’étiquette ».
D : « l’étiquette comporte un défaut du visuel » ;
On suppose que les évènements A et D sont indépendants.
On admet que les probabilités des évènements sont : p(A) = 0,01 et p(D)
= 0,03.
1.
Calculer la probabilité qu’une étiquette prélevée au hasard dans la
production présente les deux défauts.
p = p(A)*p(D) =0,01*0,03 = 3 10-4.
2.
Calculer la probabilité qu’une étiquette prélevée au hasard dans la
production ne présente aucun de ces deux défauts.
q = (1-p(A) )* (1-p(B)) -p = 0,99*0,97 -3 10-4=
0,96.
Partie
B : Etude de la contenance.
Dans cette partie, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10−2
près.
On définit une variable aléatoire V associant à chaque flacon son
volume utile exprimé en mL.
On suppose que V suit la loi normale de moyenne m = 58 (valeur annoncée
par le fournisseur)
et d’écart type s
=0,04.
Le
cahier des charges indique que le flacon est conforme lorsque ce volume
appartient à l’intervalle
[57,90 ; 58,10]. On choisit un flacon au hasard dans la production.
1.
Déterminer la probabilité pour qu’il soit non conforme.
V suit
la loi normale N(m=58, s=0,04).
p(57,90 <= V <=58,10) = p(-2,5 <= (V-m)
/ s
<=2,5)
(V-m) / s suit
la loi normale centrée réduite : 2P(2,5)-1.
Les tables
donnent P(2,5) =0,9938.
Probabilité pour que le flacon
soit conforme : 2P(2,5)-1 =2*0,9938-1 = 0,9876.
Probabilité pour que le flacon soit non conforme : 1-0,9876 =0,0124 ~0,012.
2. Donner une valeur
arrondie au centième du réel h tel que : p (58 − h <=V <=
58 + h) = 0,95.
2P(t)-1
= 0,95 ; P(t)
=1,95/2 =0,975.
Les tables donnent t = 1,96.
L'intervalle
de confiance est donc : [58-1,96 s ;
58+1,96 s
] soit h = 1,96 s
=1,96*0,04 = 0,0784 ~0,078.
La probabilité qu'un flacon ait un volume compris 58-0,078
=57,92 mL et 58 + 0,078 =58,08 mL est 0,95.
|
| .
. |
|
|
Partie
C : Test d’hypothèse.
A l’occasion d’une commande, le service contrôle du laboratoire reçoit
un lot de flacons. Il
effectue un prélèvement aléatoire de 80 flacons. Les résultats sont
consignés dans le tableau :
| Volume
( mL) |
[57,93
; 57,97 ] |
[57,97;
58,01 ] |
[58,01
; 58,05 ] |
[58,05
; 58,09 ] |
[58,09
; 58,13 ] |
| Effectif |
2 |
10 |
39 |
21 |
8 |
1. Calculer la
moyenne Vmoy et l’écart type s de
cet échantillon (arrondir le résultat `a 10−3
près)
en faisant l’hypothèse que les valeurs observées sont respectivement
celles du centre de chaque classe.
Vmoy = 58,0415 ~58,042 mL. ; s =
0,0361.
|
|
|
|
2. Construction du test.
Le volume des flacons doit être de 58 mL. On se propose de construire
un test d’hypothèse bilatéral au seuil de signification de 5 % pour
contrôler, au moment de la livraison, la moyenne µ de l’ensemble des
volumes (en mL) des flacons. On note Vmoy la
variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 80 flacons prélevés au
hasard dans l’ensemble de la production, associe la moyenne des volumes.
On considère :
L’hypothèse nulle H0 : µ = 58
L’hypothèse alternative H1 : µ diffère
de 58.
Le seuil de signification est fixé à 0,05.
On admet que, sous l’hypothèse H0, Vmoy
suit la loi normale N (58 ; 0,04 / 80½) = N(58 ;
0,00447).
(a)
Parmi les quatre intervalles proposés, lequel utiliseriez-vous pour
effectuer le test ? Justifier votre choix.
p (58 − h <=V <=
58 + h) = 0,95.
2P(t)-1
= 0,95 ; P(t)
=1,95/2 =0,975.
Les tables donnent t = 1,96.
L'intervalle de confiance est donc :
[58-1,96 * 0,04 / 80½ ; 58+1,96* 0,04
/ 80½
].
soit [57,991 ; 58,009]
(b)
Enoncer la règle de décision du test.
On détermine la
moyenne puis on vérifie que celle-ci appartient à l'intervalle [57,991
; 58,009].
3.
Utilisation
du test.
En utilisant les informations recueillies sur l’échantillon de 80
flacons, le service de contrôle acceptera-t-il cette livraison ?
Justifier.
Vmoy = 58,042 mL n'appartient à
l'intervalle [57,991 ;
58,009]. L'hypothèse H0 est rejetée.
L’hypothèse alternative H1 " µ diffère
de 58 " est retenue. Le lot est refusé.
|
ans
|
|
|