Satellite, mouvement d'un cerceau. Concours ENS 2015.

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A1. On s'intéresse à la mise en place sur une orbite circulaire équatoriale d'altitude h = 200 km d'un satellite de masse m=4200 kg. Initialement le satellite est sur la base de lancement au niveau de la mer, au voisinage de l'équateur.
On étudie le mouvement du satellite dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. R = 6400 km ; M = 6,0 1024 kg ; G = 6,67 10-11 N m2 kg-2.

 1. La vitesse v du satellite sur l'orbite circulaire est :
v2 = GM/r = GM((R+h) ; v = [GM / (R+h)]½.
v = [6,67 10-11 *6,0 1024 /  / ((6400+200) 103)]½=7,79 103 m /s ~7,8 km /s. Réponse B.

2. La période T du satellite sur son orbite est :
Le satellite décrit la circonférence 2p(R+h) à la vitesse v en T secondes.
v = 2p(R+h) / T ; T = 2p(R+h) / v =6,28 *6600 / 7,79 =5,32 103 s= 1 h 29 min. Réponse B.

 3. La variation d'énergie mécanique du satellite entre sa position au sol et son orbite d'altitude h est : ( on choisit l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur à l'infini ).
L'énergie mécanique initiale est égale à EM init= -GMm / R.
L'énergie mécanique finale vaut : EM final= ½mv2 -MGm /(R+h) =½m MG / (R+h) -MGm /(R+h)
EM final= -½m MG / (R+h).
DEM= -½m MG / (R+h) +GMm / R= GMm [1 /R -1/(2(R+h)) ].

4. Dans cette question, on tient compte des frottements. Leur influence fait que :
 L'énergie mécanique du satellite freiné par l’atmosphère diminue du travail des frottements.
Or E= -Ec=-½mv2 ; si E diminue alors la vitesse du satellite augmente.
Or E=-½Ep = -½mGM/( R+h) ; si E diminue alors la distance h diminue.
Réponse B.
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A2. Un cerceau homogène de masse m, de centre C et de rayon  a roule sans glisser sur l'axe Ox d'un repère galiléen. Le cerceau est astreint à se déplacer dans le plan vertical yOx.
On désigne par I le point de contact du cerceau avec le sol, par A un point fixe du cerceau, par x l'abscisse instantanée de C. A l'instant t=0, x=0 et q=0.

5. La relation entre x et q est :  x = -a q avec q en radian. Réponse A.
6. En utilisant le théorème de Koenig, l'énergie cinétique du cerceau dans le repère R est :
Ec =½m v2+½J w2 = ½m x'2 +½ma2q'2.
Le roulement s'effectue sans glissement et q' =x' / a :
 Ec =½m x'2 + ½mx'2 = mx'2. Réponse B.
7. L'expression de la vitesse vA du point A dans R, exprimée dans le repère xOy est :
Réponse A.
   8. Un lest ponctuel de masse M est soudé au point A du cerceau. L'énergie cinétique dans R du cerceau ainsi lesté est :
L'énergie cinétique du cerceau lesté est égale à l'énergie cinétique du cerceau augmentée de l'énergie cinétique du lest.
Ec = mx'2 +½MvA2 =mx'2 +½M [(1-cosq)2x'2 +sinq2x'2 ]
Ec =mx'2 +M[(1-cosq)x'2. Réponse C.









  9. L'expression de la puissance P dans R du poids du lest est :.
 Réponse D.
10. On étudie les petit mouvement du cerceau lesté autour de sa position d'équilibre. On montre que pour q <<1, l'équation différentielle à laquelle obéit l'abscisse x du cerceau s'écrit : x" +w0x=0.
L'expression de w0 est :
Seul le poids du lest a une puissance non nulle. Le théorème de la puissance cinétique appliquée au cerceau lesté dans R s'écrit :
dEc/dt = P.
2mx'x"+2M(1-cosq)x'x" = Mgsinqx'.
2mx"+2M(1-cosq)x" = Mgsinq.
On étudie les petites oscillations autour de la position d'équilibre stable qéq = -xéq /a.
On linéarise l'équation différentielle au voisinage de la position d'équilibre, au premier ordre :
2mx" =Mg q avec x= -aq.
2mx" +Mg x / a=0.
2max"+Mgx =0 ; w02 = Mg / (2ma). Réponse C.


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