Ondes mécaniques et ressort, interférences, niveaux d'énergie . Second concours, école normale supérieure 2014

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1.Ondes mécanique et ressort
Un ressort de masse négligeable de constante de raideur k est accroché, à l'une de ses extrémités à un plan  incliné d'un angle a = 45° par rapport à l'horizontale. A l'autre extrémité on fixe une boule de masse M = 50 g. La longueur du ressort à vide vaut L0 = 20 cm. Lorsque la boule est accrochée, la longueur du ressort à l'équilibre devient Le = 20,7 cm. Les frottements sont négligeables ; on prendra g = 9,8 m s-2. On considère le point E ( point d'équilibre du ressort ) comme origine de l'axe.
1.1- Déterminer l'expression de la constante de raideur k puis la calculer

A l'équilibre, la somme vectorielle des forces est nulle. En projection sur Ex, il vient :
Mg sina =T=k(Le-L0) ; k = Mg sina /(Le-L0).
k = 0,050 *9,8 sin 45 /(0,207-0,20)~49,5 N / m.
A présent, la boule est écartée de sa position d'équilibre d'une longueur xmax = 5 cm et lâchée sans vitesse initiale.
 1.2- Etablir l'équation différentielle du mouvement.
Projeter la seconde loi de Newton sur l'axe Ex :
-k(Le+x-L0)+Mgsin a = M x".
Or k(Le-L0) =Mgsin a  ;
-kx = Mx" ; x" +k/M x=0.
1.3- Exprimer puis calculer la pulsation propre w0 et la période T0 de cet oscillateur.
w0 = (k/M)½ = (49,5 / 0050)½ =31,46 ~31 rad/s.
T0 = w0 /(2p)=31,46 / 6,28 =5,0 s.
1.4- Donner l'équation horaire du mouvement de la boule.
x = A cos (w0t+B), A et B étant des constantes.
x(t=0)=xmax = A cos B. A = xmax et B = 0.
x = xmax cos (w0t).
1.5- Exprimer puis calculer la vitesse de la boule lorsqu'elle passe à la position d'équilibre E.
v = x' =-xmaxw0 sin (w0t).
Au point E, t = 0,25 T0, d'où : |v|=xmaxw0 = 0,05 *31,46 =1,57 ~1,6 m/s.

On fixe la boule à un système de tiges en U de masse négligeable et dont les branches frappent la surface de l'eau en O1 et O2. Les ondes produites ont une amplitude a et se propagent à la surface de l'eau avec une célérité v = 0,60 m/s. La période des oscillations vaut T = 0,2 s.

1.6- Donner la définition d'une onde progressive.
On appelle onde mécanique progressive le phénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu matériel sans transport de matière, mais avec transport d'énergie.
1.7- Les ondes ainsi produites sont-elles transversales ou longitudinales ? Justifier.
Les ondes sont transversales, la déformation du milieu est verticale et les ondes se propagent suivant l'horizontale.
1.8- Exprimer puis calculer la longueur d'onde l du mouvement sinusoïdal qui se propage à la surface de l'eau.
l =v T = 0,60*0,2 = 0,12 m.
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On se place en un point P de la surface de l'eau tel que d1 = 0,06 m et d2 =0,30 m.
L'équation littérale donnant la variation d'altitude yP s'écrit :
yP = 2a cos (pd / l) sin (wt) où d est la différence de marche en P.

1.9- L'état vibratoire de P correspond-il à un ventre ou à un noeud ? Justifier.
d = d2-d1 = 0,30 -0,06 = 0,24 m .
d / l = 0,24 / 0,12 = 2 ; cos (pd / l) = 1.
L'amplitude en P est maximale. Il s'agit d'un ventre de vibration.

2. Ondes lumineuses et interférences.
On éclaire deux fentes d'Young S1 et S2 par une source lumineuse S monochromatique de
longueur d'onde l . La source S est une fente éclairée par un laser ; elle est située à égale distance de S1 et S2 ; on note a, l'écart entre les fentes S1 et S2. L'écran de centre O est placé à une
distance D des fentes. On observe les interférences en un point M de l'écran, tel que x = OM.
2.1 Représenter la figure d'interférence observée sur l'écran.
On observe une alternance de franges sombres et brillantes horizontales. La frange centrale est brillante.
2.2 Les ondes lumineuses issues de S1 et S2 sont-elles cohérentes ?
Le dispositif des fentes d'Young créé deux sources secondaires à partir d'une source unique. S1 et S2 sont cohérentes.
2.3 On note d= (S1M) - (S2M), la différence de marche des ondes lumineuses au point M.
Exprimer d en fonction de x, a et D.

On supposera D >> a soit S1M + S2M voisin 2 D.
S1M²=D²+(x-0,5 a)²
S2M²=D²+(x+0,5 a)²
S2M² -S1M² = (x+0,5 a)²-(x-0,5 a)²
(S2M-S1M)(S1M+S2M) = 2 a x
S2M-S1M voisin a x /D
d =  a x /D.
2.4 À quelle(s) condition(s) le point M sera-t-il sur une frange brillante ? sur une frange sombre ?
Si la différence de marche est :
- un multiple de la longueur d'onde, la frange sera brillante ( interférences constructives) ;
- un multiple impaire de la demi-longueur d'onde, la frange sera noire ( interférences destructives ).
2.5 Donner la dénition de l'interfrange i.
C'est la distance entre deux franges consécutives de même nature.
2.6 Exprimer i en fonction de l, D et a.
i = l D/a.









On éclaire à présent les deux fentes d'Young par une lampe source S à vapeur de mercure.
Les radiations émises ont pour longueur d'onde : 578 nm (jaune) ; 546 nm (vert) ; 492 nm (bleu vert) ; 436 nm (indigo) et 404 nm (violet). On observe la figure d'interférence en M. En ce point la différence de marche est  d= 218 nm.
2.7 Qu'observe-t-on si on place un filtre devant la lampe dans les 3 cas suivants ?
1.filtre indigo ;
2. filtre bleu vert ;
3. filtre vert.
Préciser dans quel(s) cas on obtient un maximum de lumière ou un minimum de lumière.
Un filtre permet d'obtenir une lumière colorée par absorption d'une partie du spectre.
1.filtre indigo : d / l = 218 / 436 = 0,5 ; l'ordre d'interférence est égal à 0,5, les interférences sont destructives (minimum de lumière ).
2. filtre bleu vert : d / l = 218 / 492 = 0,44. On observe une très faible lumière bleu-vert.
3. filtre vert : d / l = 218 / 546 = 0,4. On observe une très faible lumière verte.

1.3 Ondes électromagnétiques et niveaux d'énergie.
La lampe à vapeur de mercure précédente est utilisée an d'obtenir un spectre de raies d'émission.
3.1 Tracer le spectre de raies de l'atome de mercure. On utilisera les valeurs des radiations de la partie précédente.

3.2 À l'aide d'un schéma, décrire un montage expérimental permettant d'observer ce spectre.
La lampe à vapeur de mercure est recouverte d'un cylindre métallique possèdant une fente fine. Placer un réseau devant cette fente et observer à travers le réseau. le spectre de raies.
3.3 Expliquer le caractère discontinu de ce spectre.
L'énergie de l'atome est quantifiée, seul un petit nombre de valeur est permis..
3.4 Quelle est la variation d'énergie correspondant à l'émission de la raie verte de longueur d'onde 546 nm ?
DE = h c / l = 6,63 10-34 *3,0 108 /(546 10-9)=3,64 10-19 J
soit 3,64 10-19 /(1,6 10-19)=2,28 eV.
3.5 À l'aide du diagramme des niveaux d'énergie fourni, indiquer la transition correspondante.

3.6 Définir l'énergie d'ionisation d'un atome. Calculer cette énergie pour l'atome de mercure.
C'est l'énergie qu'il faut fournir pour arracher un électron à l'atome pris dans son état fondamental : 10,4 eV dans ce cas.



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