Saut à ski, équilibre d'une échelle, électricité. Concours Ecole Nationale Supérieure Maritime 2015

Tremplin de saut à ski.
Un champion de saut à ski, assimilable à un corps ponctuel S, s'élance d'un point A avec une vitesse initiale nulle sur une piste de saut. Masse du skieur m = 70 kg.

Du point A au point K, la piste est considérée comme rectiligne, puis elle se termine par un tremplin horizontal qui s'achève au point B, à la même altitude que le point K. La courbure entre le haut de la piste et le tremplin est négligée, mais on considère qu'elle permet de conserver la même vitesse entre les points K et B.
La piste de réception est le prolongement du haut de la piste et les points A, K, O et R sont alignés sur une droite inclinée d'un angle a = 27° par rapport à l'horizontale.
Dans tout le problème, on néglige les frottements de l'air sur le skieur et ceux des skis sur la piste.
On associe au référentiel terrestre le repère (Ox, Oz) ; le point O est situé 6 mètres sous le point B et à sa verticale.
1. Déterminer la distance l entre les points A et K pour que la vitesse du skieur soit de 90 km.h^-1 au point B.
Entre A et K, l'énergie mécanique se conserve. Pour cette question l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur est prise en K.
En A l'énergie mécanique du skieur est sous forme potentielle : mg l sin a.
En K l'énergie mécanique est sous forme cinétique ½mv².
mg l sin a = ½mv².
l = ½v² / (g sin a) avec v = 90/3,6 = 25 m /s.
l =0,5*25² /(9,8 sin 27) =70,23 ~70 m.
2. Faire le bilan des forces qui s'exercent sur le skieur à partir du point B et donner les caractéristiques de ces forces.
Le skieur est en chute libre Il est soumis uniquement à son poids, verticale vers le bas, valeur mg = 70*9,8 =686 N.
3. Etablir les équations horaires du point S dans l'air : x et z = f(t).
Dans le repère proposé, accélération ( 0 ; -g).
Vitesse v_x=v_b ; v_z= -gt.
Position x = v_bt ; z = -½gt².
4. Etablir l'équation cartésienne du point S dans l'air : z = f(x).
t = x / v_b ; z = -½gx² /v²_b.
5. En déduire la nature de la trajectoire du point S et la représenter approximativement.
La trajectoire est une branche de parabole.
6. Etablir l'équation cartésienne de la droite représentant la piste de réception OR.
z = - tan a x = -tan 27 x = -0,5095 x~ -0,51 x.
7. Le skieur se réceptionne au point R, calculer les coordonnées de ce point.
-0,51 x_R = -½gx²_R / v²_b.
x_R = 2*0,51v²_b / g =2*0,51 *25² /9,8 ~65 m.
z_R = -0,51 *65 ~ -33 m.
8. Exposer sans faire de calcul ce qui changera si le skieur prend de l'élan au départ en poussant sur ses bâtons par exemple.
La vitesse initiale sera plus grande ; donc v_b et x_R vont croître.
9. De même, sans faire de calcul, exposer ce qui changera si le skieur pousse sur ses jambes dans la dernière partie du tremplin.
v_b et donc x_R vont croître.