Gravitation. Concours GEIPI 2015

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Au cours d’une émission télévisée matinale, un point route est effectué où apparaissent plusieurs
écrans de contrôle de la situation routière, correspondants à différents points du territoire.
Il est 8 heures du matin ce 20 octobre 2014 (293e jour de l’année, N = 293) et le téléspectateur
constate qu’il fait nuit à Paris (latitude : 48,85° Nord, longitude : 2,35° Est) et jour à Nice, où le
soleil se lève (latitude : 43,70° Nord, longitude : 7,25° Est). Nous vous proposons de vérifier cet
état de fait par le calcul en affectant l’indice 1 à Paris et l’indice 2 à Nice.
Le trajet du centre O de la terre autour du Soleil est une ellipse. Quelle position le centre du Soleil occupe-t-il par rapport à cette ellipse ?
Le centre du soleil est un foyer de l'ellipse.
Pour simplifier, on fait maintenant l’hypothèse que cette trajectoire est circulaire uniforme. La
vitesse V de O est alors constante, donnée par l’expression : v = (GM / r)½.
G = 6,6700 10-11 m3.kg-1.s-2 est la constante de gravitation
M = 2,0059 1030 kg est la masse du soleil
r = 1,5000 1011 m est la distance Terre‐Soleil.
Calculer V en l’exprimant en m.s-1.
V = ( 6,6700 10-11*2,0059 1030 /(1,5000 1011) )½ =2,9866 104 m/s.
On considère donc que le centre de la terre O effectue un cercle autour du Soleil. Quelle
est la distance d parcourue par la terre lors d’un tour complet ?
d = 2 p r = 2*3,14159 *1,5000 1011=9,4248 1011 m.
Déterminer l’expression littérale du temps T d’un tour complet (période de révolution) en
fonction de p, G, M et r. Calculer T en l’exprimant en secondes puis en jours.
 2 p r = V T  =(GM / r)½ T ; T = 2 p r1,5 / (GM )½ .
T = 2*3,14159 *(1,5000 1011)1,5 / (6,6700 10-11*2,0059 1030)½ ;
T =3,15583 107 s =365,26 J .
Que retrouve-t-on en exprimant le rapport T2/r3 ? Comment se nomme la loi correspondante ?
On retrouve la 3ème loi de Kepler T2/r3 = 4 p2/(GM).
La durée du jour J en un point de la terre est donnée par l’expression (1) où d est la déclinaison
du soleil (angle fait par la direction Terre-Soleil dans le plan de l’équateur terrestre) et f est la
latitude du lieu.
J = 24(1-1/p arcos ( tan f tan d)) (1).
Pour d = 0, calculer la durée du jour J0.
J0 = 24(1/3,14159 arcos 0) ; arcos 0 = 3,14159 / 2 =1,5708.
J0 = 24(1-1/3,14159 *1,5708) =12 heures.
 En les relevant sur le graphique ci-dessous (en abscisse le numéro N du jour, N = 1 correspondant au 1er janvier), donner les numéros des 2 jours correspondant de l’année. Comment appelle-t-on ces deux journées particulières ?
Les équinoxes N = 81 et N = 264.
Déterminer d (à exprimer en degrés) pour le 20 octobre 2014 (N = 293) en le relevant sur
le graphique. ~ -11,5 °.
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Convertir en radian la déclinaison δ et les latitudes de Paris et Nice.
d = -11,5 *3,14159 / 180 =  -0,2007 rad.
f1 = 48,85 *3,14159 / 180 =  0,8526 rad.
f2 = 43,70 *3,14159 / 180 =  0,7627 rad.
Effectuer avec la formule (1) le calcul des durées du jour à Paris et Nice ce 20 octobre,
soit J1 et J2, exprimées en heures et minutes (l’équinoxe d’automne étant passée, la durée du jour
est inférieure à 12h).
J1 = 24(1 -1/3,14159 arcos ( tan 0,8526 *tan(-0,2007)) =10,205 h. ( 10 h 12 min )
J2 = 24(1 -1/3,14159 arcos ( tan 0,7627 *tan(-0,2007)) =10,505 h.( 10 h 30 min)
En déduire l’heure du lever du soleil ce jour là à Paris (notée HL1) et Nice (notée HL2),
exprimées en heures et minutes : On a : HL = 12 h – J/2 . Ces résultats correspondent à des
heures solaires exactes.
HL1= 12-10,205  / 2 ) ~6,90 h ou 6 h 54 min.
HL2= 12-10,505  / 2 ) ~6,75 h ou 6 h 45 min.

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En tout point du territoire, l’heure administrative de référence est la même, mais doit être corrigée
pour retrouver l’heure solaire locale exacte H. H est donnée, pour chaque lieu, par la formule :
H = 6 +DHg-E(2)
DHg est la correction de longitude. DHg s’obtient en comptant 4 minutes par degré de longitude Est
E est un écart horaire fonction du jour de l’année (en minutes) donné sur le graphe (III) (ici, pour N = 293, E<0 donc –E>0).
Relever E sur le graphe. E = - 16 min.
 Avec DHg1 = 9 mn 24s et DHg2 = 29 mn, corrections de longitude pour Paris et Nice respectivement, calculer H1 et H2, heures solaires vraies respectivement à Paris et
Nice pour ce jour là (N = 293) à cette heure administrative là (Ha = 8h), en appliquant donc la formule (2).
H1 = 6h+9' 24" +16' ~ 6 h 25' .
H2 = 6h+29' +16' = 6 h 45' .

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