Etude de fonction, équation différentielle, algorithme.
Bts 2016.
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Une société utilise, dans le cadre de son activité de nettoyage de vitres, une nacelle élévatrice
à mât télescopique vertical. On souhaite étudier la durée nécessaire pour que la nacelle
atteigne sa hauteur opérationnelle. On note f (t ) la hauteur, en mètre
de la nacelle à l’instant t , en seconde. On suppose que f une fonction
de la variable t définie et dérivable sur [0 ; +oo[.
A. Résolution d’une équation différentielle.
On considère l’équation différentielle (E) :
y′ +0,3y = 3,6
où y est une fonction inconnue de la variable réelle t , définie et
dérivable sur l’intervalle [0 ; +oo[ et y′ la fonction dérivée de y.
1. Résoudre l’équation différentielle (E0) :
y′ +0,3y = 0.
y= A exp(-0,3t) avec A une constante définie par les conditions initiales.
2. Vérifier que la fonction g , définie sur [0 ; +oo[ par g (t )= 12, est une solution de l’équation différentielle (E).
g'(t) = 0, repport dans (E) : 0+0,3*12= 3,6.
Cette égalité est vérifiée, g(t) = 12 est solution de (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
f(t) = A exp(-0,3 t ) +12.
4. Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. On ne demande aucune justification.
On a représenté ci-dessous â l’aide d’un logiciel, certaines solutions de l’équation différentielle (E).
La courbe représentative de la solution f de l’équation différentielle
(E) qui vérifie la condition initiale f (0) = 2 est : la courbe C1, la courbe C2, la courbe C3, au regard de l'oordonnée à 'origine.
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B. Étude de fonction et application.
Soit f la fonction définie sur [0 ; +oo[ par f (t ) = −10 exp(−0,3t) +12.
On rappelle que f (t ) désigne la hauteur de la nacelle, exprimée
enmètre, à l’instant t , exprimé en seconde. On désigne par C la courbe
représentative de f dans un repère (O, i, j).
1. Déterminer la hauteur de la nacelle à l’instant t = 0.
f(0) = -10 +12 = 2 m.
2. a. Justifier que la courbe C admet une asymptote dont on donnera une équation.
Quand t temps vers l'infini, le terme en exponentielle tend vers zéro ;
f(t) tend vers 12 quant le temps devient grand. La droite d'équation y
=12 est asymptote.
b. Déterminer le signe de f ′(t ) sur [0 ; +oo[ puis on déduire le sens de variation de la fonction f sur cet intervalle.
f '(t) = -10(-0,3) exp(-0,3t) = 3 exp(-0,3t) ; la dérivée est positive sur cet intervalle.
La fonction f(t) est strictement croissante sur cet intervalle.
c. La vitesse de la
nacelle, en mètre par seconde, à l’instant t , exprimé en seconde, est
modélisée par f ′(t ). Calculer la vitesse de la nacelle à l’instant t
= 0.
f ' (0) = 3 exp(0) = 3 m s-1.
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Algorithme.
On considère que la nacelle est stabilisée dès lors que sa hauteur f (t ) à l’instant t vérifie l’encadrement :
11,9<= f (t )<=12.
L’objectif de cette partie est de déterminer à partir de quel instant la nacelle peut être considérée comme stabilisée.
1. On considère l’algorithme suivant :
Variable : t est un nombre réel
Initialisation : t prend la valeur 0
Traitement : Tant que f (t ) < 11,9
t prend la valeur t +1
Fin de Tant que
Affichage : Afficher t
Faire tourner cet algorithme « à la main» en complétant le tableau ci-dessous.
Etapes
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Valeur de t
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Valeur de f(t)
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Condition
f(t) <11,9
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Affichage
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étape 1
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0
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f(0)=2
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Vraie
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aucun
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étape 2
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1
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f(1) ~4,59
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Vraie
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aucun
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étape 3
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2
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f(2)~6,51
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Vraie
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aucun
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étape 4
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3
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f(3) ~7,93
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Vraie
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aucun
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étape 5
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4
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f(4) ~8,99
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Vraie
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aucune
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étape 6
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5
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f(5)~9,77
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Vraie
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aucun
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étape 7
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6
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f(6) ~10,3
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Vraie
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aucun
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étape 8
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7
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f(7) ~10,8
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Vraie
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aucun
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étape 9
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8
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f(8) ~ 11,1
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Vraie
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aucun
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étape 10
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9
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f(9) =11,3
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Vraie
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aucun
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étape 11
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10
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f(10) ~ 11,5
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Vraie
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aucun
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étape 12
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11
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f(11) ~11,63
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Vraie
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aucun
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étape 13
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12
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f(12) ~11,73
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Vraie
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aucun
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étape 14
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13
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f(13) ~11,8
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Vraie
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aucun
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étape 15
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14
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f(14) ~ 11,85
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Vraie
|
aucun
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étape 16
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15
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f(15) ~11,89
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Vraie
|
aucun
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étape 17
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16
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f(16) ~11,92
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Faux
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16
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2. À partir de quel instant t0, arrondi à la seconde, peut-on considérer que la nacelle est stabilisée ?
t0 = 16 s.
3. Proposer une modification de l’algorithme précédent afin qu’il permette d’obtenir une valeur approchée de t0 arrondie au dixième.
Initialisation : t prend la valeur 15
Traitement : Tant que f (t ) < 11,9
t prend la valeur t +0,1.
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