mathématiques, concours officier chef de quart marine 2016.

Mathématiques, concours officier chef de quart marine 2016.

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Exercice 1.
1. Développer (2x+1)(x-1).
2x²-2x+x-1 = 2x²-x-1.
2. Résoudre dans R les équations suivantes.
a. 2(lnx)² -lnx -1 = 0.
On pose X = ln x ; 2X²-X-1 = 0.
D'après la question précédente : (2X+1)(X-1)=0
X = -½, soit ln x = -0,5 ; x ~0,61 ;
X = 1 soit x = e ~2,72.
b. 2e^-2x -e^-x-1 = 0.
On pose X = e^-x ; 2X²-X-1 = 0.
D'après la question précédente : (2X+1)(X-1)=0.
X = -½, soit e^-x = -0,5 , impossible e^-x est toujours positif.
X = 1 soit e^-x=1 x = 0.

Exercice 2.
Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle [-5 ; 5].
1. Donner la fonction densité de probabilité de X.
a = -5 et b = 5.
f(x) = 1 / (b-a) = 1 / (5-(-5)) = 1 / 10 = 0,1 si x appartient à [-5 ; +5] sinon zéro.
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
E(x) = (a+b) / 2 = (-5 +5) / 2 = 0.
V(x) = (a-b)² /12 =(-5 +5)² / 12 = 0.
3. Quelle est la probabilité que X appartienne à l’intervalle [2 ; 4] ?
p(a <= X <= ß) = (ß-a) / (b-a) =(4-2) / 10 = 0,2.
4. Sachant que X est supérieur à 1, quelle est la probabilité que X appartienne à [2 ; 4] ?
p((X>1) = p( 2<= X <5) =(5-2) / 10 =0,3.
p((X>1) ∩p(2 <= X <= 4)= p(2 <= X <= 4)=0,2.
[ p((X>1) ∩p(2 <= X <= 4) ] / p((X>1) =0,2 / 0,3 = 2 / 3.

Exercice 3.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, u, v) d’unité graphique 1 cm.
On considère le nombre complexe suivant :
z = (1-2i) / 5^½.
On appelle M, A, B et C les points d’affixes respectives z , conjugué de z , -1 / z et -i / (2z).
1. Ecrire ces complexes sous forme algébrique.

2. Montrer que les points A, C et M appartiennent à une même droite. Donner l’équation cartésienne de cette droite.

3. Déterminer AC et BC. En déduire que le triangle ABC est isocèle en C.

AC = BC, le triangle ABC est isocèle en C.
4. Ecrire le nombre complexe suivant sous forme exponentielle et en déduire la nature du triangle ABM.

MA et MB sont perpendiculaires ; le triangle ABM est rectangle en M.

Exercice 4.
Soit la fonction définie par f(x) =1-2x+e^2x.
. On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un plan rapporté à un repère orthonormé d’unité graphique 1 cm.
1. Déterminer la limite de f en -oo.
Le terme en exponentielle tend vers zéro ; f(x) tend vers +oo.
2. Montrer que la droite D d’équation y = 1-2x est asymptote à la courbe C en -oo.
f(x) -y =1-2x+e^2x-1+2x = e^2x.
f(x) -y tend vers zéro lorsque x tend vers -oo la droite d'équation y = 1-2x est asymptote à la courbe C en -oo.
f(x) -y étant positive, la courbe C est au dessus de l'asymptote.
Donner la position de C par rapport à cette asymptote.
3. Montrer que pour tout xnon nul, on a f(x) = x [1 /x -2 +e^2x / x].
En déduire la limite de f en +oo.
Dans l'expression de f(x), mettre x en facteur commun :
f(x) = f(x) = x [1 /x -2 +e^2x / x].
Quand x tend vers +oo :
1 /x tend vers zéro ; e2x / xtend vers l'infini.
f(x) tend vers l'infini quand x tend vers +oo.
4. Calculer la dérivée de f et donner le tableau de variation de f.
f '(x) = -2+2e^2x= 2(e^2x-1)
f '(x) =0 si x = 0.

5. Tracer D et C.

Exercice 5.
On considère pour n positif ou nul, u_n une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q différente de zéro, vérifiant :
u₃ x u₄ x u₅ = 27 et u₃² + 2u₃ +u₄² = 8.
1. Exprimer u₃ x u₄ x u₅ en fonction de u₄.
u₁ = q u₀ ; u₂ = q² u₀ ; u₃ = q³ u₀ ; u₄ = q⁴ u₀ ; u₅ = q⁵ u₀ ;
u₃ = u₄ / q ; u₅ = q u₄ ; u₃ x u₄ x u₅ = u₄³.
2. Déterminer les termes u₄ puis u₃.
. En déduire que q = -3 et calculer le terme u₀.
u₄³ = 27 soit u₄ = 3.
u₃² + 2u₃ +u₄² = 8 ; u₃² + 2u₃ +9 = 8 ; u₃² + 2u₃ +1 = 0 ;
(u₃+1)² = 0 soit u₃ = -1.
q = u₄ / u₃ = 3 / (-1) = -3.
u₂ = u₃ / q = -1/(-3) = 1 /3 ; u₁ = u₂ / q = - 1 /9 ; u₀ = u₁ / q = 1 / 27.
3. On pose v_n = u²_n+3 pour tout n positif ou nul.
. Montrer que la suite v_nest une suite géométrique. Donner son premier terme et sa raison.
u_n+1 =q u_n =qⁿ⁺¹ u₀ ; u_n+2 =qⁿ⁺² u₀ ; u_n+3 =qⁿ⁺³ u₀ ; u_n+4 =qⁿ⁺⁴ u₀ ;
v₀ =q⁶ u²₀ ; v₁ =u²₄ = q⁸ u²₀ ; v₂ =u²₅ = q¹⁰ u²₀ = q² v₁.
v_n = u²_n+3 = q²ⁿ⁺⁶ u²₀ ;
v_n+1=u²_n+4 = q²ⁿ⁺⁸ u²₀ = q² v_n.
V_n est une suite géométrique de premier terme q⁶ u²₀ =(-3)⁶ x (1 / 27)² =1 et de raison q² = 9.

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