Mesure du taux de sucre dans le raisin. Concours général 2016.

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On utilise un réfractomètre permettant de mesurer l'indice de réfraction du jus. L'indice varie avec la concentration en sucre : des courbes permettent alors d'en déduire la quantité de sucre et le degré d'alcool espéré du futur vin. Le schéma d'un réfractomètre d'Abbe est donné ci-dessous :

Il est constitué de deux prismes en verre d'indice n entre lesquels est positionné un mince film de liquide issu du raisin dont on veut mesurer l'indice de réfraction nl.
Le prisme d'entrée (1)  est accolé à une lampe à vapeur de sodium et permet d'éclairé le liquide en incidence rasante ( rayon(a)).
Les rayons traversant le prisme (2) sont envoyés sur un miroir dont on peut contrôler l'inclinaison.
Après réflexion, ces rayons sont alors observés par l'utilisateur à l'aide d'une lunette ; l'observateur règle la position du miroir de sorte à placer la limite de séparation entre la zone claire et la zone sombre au centre du réticule ( croix).
On donne le spectre de la lampe à vapeur de sodium basse pression.

 1. Pour quelles raisons a-t-il été choisi d'éclairer le dispositif à l'aide d'une lampe à vapeur de sodium ? Justifier.
La lumière émise est quasiment monochromatique : l'indice de réfraction d'un verre dépend de la longueur d'onde de la lumière. La lumière jaune correspond au maximum de sensibilité de l'oeil.
On rappelle la loi de Snell-Descartes pour le passage d'un rayon lumineux au travers un dioptre séparant deux milieux d'indice n1 et n2, avec i l'angle d'incidence et r l'angle de réfraction.
n1 sin i = n2 sin r.

2. On considère que n1 >n2. Définir le phénomène de réflexion totale, et préciser à quelle condition sur i le phénomène de réflexion totale se produit.
Réflexion totale : le rayon réfracté n'existe plus, on observe simplement le rayon réfléchi dans le milieu (1). Cela est possible si n1 > n2.
n1 sin i = n2 sin r avec sin r inférieur ou égal à 1.
sin r  = n1 / n2 sin i.
Il existe un angle d'incidence limite ilim au delà duquel le rayon réfracté n'existe pas.
1 = n1 / n2 sin ilim ; sin ilim  = n2/n1.




3. Reproduire et compléter le schéma ci-dessus en indiquant le chemin parcouru par le rayon (a) en incidence rasante. On suppose que n > nl, et on note r1 l’angle de réfraction à l’interface liquide-verre, i2 et r2 respectivement l’angle d’incidence et l’angle de réfraction sur la face de sortie du prisme. L’indice de l’air sera quant à lui pris égal à 1.












4. Montrer qu’il existe un lien entre r2 et l’indice nl du liquide. Calculer la valeur numérique de nl pour n = 1,732,
r2 = 24,2° et ß= 38,1°, l’expérience ayant été réalisée à 20 C.
Déterminons la relation entre i2, r1 et ß.
i2+r1 d'une part, ß d'autre part, ont le même suplément : ß = i2+r1.
En tenant compte de l'orientation des angles : ß =r1 -i2.
Expression de r2 en fonction de ß, n et nl.
nl sin 90 = n sin r1 ; r1 = sin-1( nl /n) ; ß =sin-1( nl /n) -i2 ; i2 =sin-1( nl /n) -ß.
Relation entre r2 et i2, et enfin entre r2, ß, n et nl. Valeur de ns.
n sin i2 = nair sin r2 = sin r2 ; r2 = sin-1(n sin i2) ; r2 =  sin-1(n sin (sin-1( nl /n)-ß)).
sin 24,2 =1,732 sin (sin-1( nl /1,732)-38,1) ; 0,410 /1,732 =0,2367 =sin (-sin-1( nl /1,732)-38,1).
13,69 = sin-1( nl /1,732)-38,1 ; sin-1( nl /1,732) =51,79 ; nl /1,732 =0,7858 ; nl =1,3609.
 5. En déduire la teneur approximative en sucre à l’aide du tableau suivant :

Indice de réfraction  à 20°C1,35771,35921;36071,36211,36351,36501,36651,36801,3694
Teneur en sucre( g/L)150160170180190200210220230
La teneur approximative en sucre est de 171 g / L.
.6. Indiquer sur le schéma  le chemin parcouru par le rayon (b) et conclure quant au fonctionnement du réfractomètre.
Au point I : n sin 60 = nl sin r ; sin r = 1,732 * 0,866 / 1,3609 =1,10.
Il y a réflexion totale pour tous les rayons (b) appartenant à la zone jaune orangé.
Au point J : angle d'incidence limite : sin-1 (1/1,732) = 35°.
L'angle i étant supérieur à cet angle limite, il a à nouveau réflexion totale.

Le prisme supérieur sert uniquement à créer un éclairage rasant.
La lumière entre dans le prisme inférieur en une plage de lumière : le rayon supérieur correspond au prolongement du rayon rasant.
Après réflexion sur le miroir, l'utilisateur observe dans une lunette, la plage de lumière et sa limite ( c'est à dire une information sur l'angle limite, donc sur l'indice du liquide).



  

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