Mathématiques, Brevet, Inde 2018.

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Exercice 1 . ( 13 points ).
On considère un jeu constitué d'un plateau tournant et d'une boule. Ce plateau comporte 13 cases numérotées de 0 à 12. la boule a la même probabilité de s'arrêter sur chaque case.
1. Quelle est la probabilité que la boule s'arrête sur la case n° 8 ?
Un seule cas favorables parmi 13 possibilités, donc : 1 / 13 ~0,077.
2. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur lequel s'arrête la boule soit un numéro impair ?
Six cas favorables ( 1, 3, 5, 7, 9, 11) sur 13 possibilités, soit 6 / 13 ~0,46.
3. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur lequel s'arrête la boule soit un nombre premier ?
Six cas favorables ( 1, 2, 3, 5, 7, 11) sur 13 possibilités, soit 6 / 13 ~0,46.
4. Lors des deux derniers lancers, la boule s'est arrêtée à chaque fois sur la case numéro 9. A t-on maintenant plus de chances que la boule s'arrête sur la case numéro 9 plutôt que sur la case numérotée 7 ? Argumenter.
La boule a la même probabilité de s'arrêter sur chaque case, quel que soit le résultat des lancers précédents.
Probabilité d'arrêt sur le numéro 9 = probabilité d'arrêt sur le numéro 7 = 1  / 13. Réponse : non.

 Exercice 2 ( 9 points ).

1. Quel type de  transformation géométrique permet d'obtenir le motif 2 à partir du motif 1 ? Une translation..
2. Dans cette question AB = 1 cm. Déterminer l'aire de ce motif.
Aire du carré AEHK : 2 x2 = 4 cm2.
Aire des 8 triangles du type IJH : 8 x1 x1 /2 = 4 cm2.
Aire du motif : 8 cm2.
3. Marine affirme " si je divise par 2 les longueurs d'un motif, son aire sera ausi divisée par 2" A t-elle raison ? Expliquer pourquoi ?
Une aire est égale au produi d'une longueur par une longueur. Si chaque longueur est divisée par 2, l'aire est divisée par 4. Marine a tord.

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Exercice 3. ( 9 points ) QCM.
1. 2,53 1015 =2 530 000 000 000 000.  Réponse B.
2. La latitude de l'équateur est : 0 ( vrai) ; 90° est ; 90° nord ; 90° sud..
3.
Exercice 4 ( 18 points).
Programe A :
Choisir un nombre.
Soustraire 3.
Calculer le carré du résultat obtenu		 Programme B.
Choisir un nombre.
Calculer son carré.
Ajouter le triple du nombre de départ.
Ajouter 7.
1. Corinne choisit le nombre 1 et applique le programme A. Expliquer en détaillant les calculs que le résultat est 4.
1 ; 1-3 = -2 ; (-2)2 = 4.
2. Tidjane choisit le nombre -5 et applique le programme B. Quel résultat obtient-il ?
(-5)2 = 25 ; 25 +(-15) = 10 ; 10+7 = 17.
3. Lina souhaite regrouper le résultat dans un tableur.

3. Quelle formule, copiée ensuite à droite dans les cellules C3 à H3 a t-elle saisie dans la cellule B3 ?
=B1*B1+3*B1+7.
4. Zoé cherche à obtenir le même résultat pour les deux programmes. Elle note x le nombre de départ.
4.1. Montrer que le résultat du programme a peut s'écrire  : x2-6x+9.
(x-3)2= x2-6x+9.
4.2. Ecrire le résultat du programme B en fonction de x.
x2+3x+7.
4.3 Existe-t-il un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ? Si oui, lequel ?
x2-6x+9 = x2+3x+7.
-6x+9 = 3x+7.
9-7=3x+6x
2=9x
x=2 / 9.
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Exercice 5 . (20 points ).


On lance une fléchette sur une cible. Si la pointe est sur le bord de la cible, on considère que la cible n'est pas atteinte.
Longueur de la plaque carrée : 200 mm ; rayon de la cible : 100 mm. La pointe de la flèche est représentée par le point F.
1. Coordonnées du point F ( 72 ; 54 ). Montrer que OF = 90 mm.
Le triangle OHF est rectangle en H.
OF2 = OH2 +FH2 = 722 +542 =8100 ; OF = 90 mm.
2. Quel nombre ne doit pas dépasser la distance OF pour que la fléchette atteigne la cible ?
OF < 100 mm.
3. On réalise un programme qui simule plusieurs fois le lancer de la fléchette et qui compte le nombnre de lancers atteignant la cible. Le programmeur a créé trois variaables nommées : carré de OF, distance et score.

Départ.
Mettre score à  zéro.
Répéter 120 fois.
   Aller à  : x : nombre aléatoire entre -100 et +100 ; y : nombre aléatoire entre -100 et +100.
    Mettre carré de OF à abscisse x fois abscisse x +.......  .........
Mettre distance à racine de ......
Si distance < .... alors
ajouter 1 à score.
Fin répéter.
a. Combien de lancers sont simulés ? 120.
b. Quel est le rôle de la variable score ?
Score donne le nombre de lancers atteignant la cible.
c. Compléter le programme afin qu'il fonctionne correctement.
    Mettre carré de OF à abscisse x fois abscisse x +ordonnée y fois ordonnée y.
Mettre distance à racine de carré de OF.
Si distance < 100 alors
3. Après exécution du programme, la variable score est égale à 102. A quelle fréquence la cible a-t-elle été atteinte dans cette simulation ? Exprimer le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
102 / 120 = 51 / 60 = 17 / 20.
4. La probabilité d'atteindre la cible est égale au quotient : aire de la cible divisée par aire du carré. Donner cette probabilité au centième près.
pr2 / coté2 =3,14 x1002 / 2002 = 3,14 / 4 ~0,79.


Exercice 6 ( 15 points).
Chris fait une course de vélo tout terrain. le graphe ci-dessous représente la fréquence cardiaque ( nombre de battements par minute) en fonction du temps.

1. Quelle est la fréquence cardiaque de Chris au départ de la course ? ~ 52.
2. Quelle est la fréquence maximale atteinte au cours de la course ? 160.
3. Chris est parti à 9 H 33 de chez lui et termine sa course à 10 h 26. Quelle a été la durée en minutes de sa course ?
27 +26 = 53 minutes.
4. Chris a parcouru 11 km. Montrer que sa vitesse moyenne est d'environ 12,5 km /h.
11 / 53 x60 = 12,45 ~12,5 km / h.
5. La fréquence maximale  ( FCM) de Chris est de 190 battements par minute. L'effort est soutenu si la fréquence  cardiaque mesurée est comprise entre 70 et 85 % de la FCM.
Estimer la durée de la période pendant laquelle Chris a fourni un effort soutenu.
190 x0,70 = 133 ; 190 x0,85 = 161,5.

Exercice 7. ( 16 points).

1. Tracer la figure en vrai grandeur.
2. Montrer que AH = 3,5 cm.
Dans le triangle rectangle AHB : sin 30 = AH / AB ; AH = AB sin 30 = 7 x0,5 = 3,5 cm.
3. Démontrer que les triangles ABC et HAC sont semblables.
Ces deux triangles sont des triangles demi équilatéraux.
sin 30° = AC / BC = CH / AC ; sin 60° = AB / BC =AH / AC ( voir ci-dessus)..
4. Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer du triangle ABC au triangle HAC.
AH / AB = 3,5 / 7 =0,5.


  

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