Loi binomiale, loi normale, BTS groupe D 2018

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Exercice 1.
Partie A.
  Une étude montre que :
60 % des scanographies effectuées concernent le cerveau, parmi celles-ci 20 % détectent une tumeur.
90 % des autres scanographies effectuées ne détectent pas de tumeur.
On choisit un patient au hasard. On note C l'événement " le patient fait une scanographie du cerveau" et T l'événement " le patient a une tumeur".
1. Compléter l'arbre pondéré suivant.
2. Montrer que la probabilité que le patient ait une tumeur est égale à 0,16.

3. Le scanographe détecte une tumeur. Quelle est la probabilité que cette tumeur soit détectée au cerveau ?
PT(C) =P(T n C) / P(T) = 0,12 / 0,16 = 0,75.
  4. Sur un échantillon de 40 patients atteints d'une tumeur au cerveau, un médecin constate que 25 patients ont été guéris après un traitement approprié.
a. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion inconnue de patients guéris d'une tumeur au cerveau après un traitement approprié.
f = 25 / 40 = 0,625.
 b. Estimer cette proportion par un intervalle de confiance au seuil de 95 %.
1,96 [f (1-f) / n]½ =1,96[0,625 x0,375 / 40]½ =0,150.
Intervalle de confiance [0,625-0,15 ; 0,625 +0,15] soit [ 0,475 ;0,775 ].

Partie B.
Le délai d'attente en jours pour réaliser une scanographie suit une loi exponentielle de paramètre l et le délai d'attente moyen est de 10 jours.
1. Déterminer l.
l = 1 / 10 = 0,1 jour-1.
2. Parmi les trois représentations ci-dessous, une seule correspond à la densité de probabilité de cette loi exponentielle. Indiquer laquelle, sans justifier.

La représentation A est correcte.
3. Déterminer la probabilité, arrondie au millième, que le délai d'attente d'un patient ne dépasse pas 8 jours.
P(T < 8) = 1-e-0,8 = 0,551.


 

Partie C. QCM sans justification.
On admet que la probabilité que le délai d'attente d'un patient pour une scanographie ne dépasse pas 8 jours est égale à 0,55.
On construit aléatoirement un échantillon de 200 patients de l'hopital, qui se voient prescrire une scanographie. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de patients dont le délai d'attente ne dépasse pas 8 jours.
 1. La variable X suit :
A. la loi binomiale de paramètres 200 et 0,55 ;(exact)
B. la loi normale de paramètres 200 et 0,55 ;
C.  la loi exponentielle de paramètres 200 et 0,55.
2. La probabilité que le quart de ces 200 patients ait un délai d'attente qui ne dépasse pas 8 jours est égale à :
A. P(X < 8) ;  B. P(X = 0,25) ; C. P(X =50).  exact.
 3. La probabilité que moins de la moitié des 200 patients aient un délai d'attente qui ne dépasse pas 8 jours est égale à :
A. 0,021 ; B. 0,088 ( exact) ;  C. 0,932.
4. On admet que la loi suivie par X peut être approchée par une loi normale. La représentation graphique de cette loi est alors :

Représentation A.






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