Mathématiques, Concours Puissance alpha 2018

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Exercice 1. Bases en Analyse.
Les quatre questions suivantes sont indépendantes.
a) La dérivée de xex est ex. Faux.
On pose u = x et v = ex ; u' = 1 ; v' = ex.
u'v +v'u = ex +xex.
b) Quand x tend vers plus l'infini, la limite de (ln(x)-1) / x est plus l'infini. Faux.
Quand x tend vers plus l'infini : ln(x) / x tend vers zéro et  1 /x tend vers zéro.
c) Soit ⨍ est une fonction définie sur R. Si ⨍ ’ = ⨍, alors ⨍ est la fonction nulle. Faux.
La dérivée de ex est ex.
Soit A et B deux évènements d’une même expérience aléatoire tels que P(A) = 0,2, P(B) = 0,5 et P(A∪B) = 0,7.
d) A et B sont incompatibles. Vrai.
P(A ou B) = P(A) + P(B).

Exercice 2. Bases en Géométrie.
Pour le a) et b), on se place dans le plan complexe .
Les questions a) et b) sont indépendantes.
a) Si z = −6[ cos ( 2p/3) + i sin (
2p/3) ] alors arg(z) =2p/3 + [2p]. Faux.
z = 6[ -cos ( 2p/3) - i sin (2p/3) ] = 6[ cos ( -p/3) + i sin (-p/3) ] ; arg(z) =-p/3 + [2p].
b) Si M est un point d’affixe z de partie imaginaire non nulle et M’ un point d’affixe z‘=−z, alors M et M’ sont symétriques par rapport à O. Vrai.
Pour le c) et d), on se place dans le repère orthonormé de l'espace.
On pose (P1) et (P2) les plans d’équations respectives 4x + 6y – 10z + 3 = 0 et – 6x – 9y + 15z – 8 = 0.
Soit (d) la droite de représentation paramétrique x = 2t+1 ; y = -t-3 ; z = 5t-1où t désigne un nombre réel.
c) (P1) et (P2) sont sécants. Faux.
On garde 4x + 6y – 10z + 3 = 0 et on multiplie par -2 / 3 l'équation cartésienne du plan P2.
On obtient : 4x +6y -10z +16 / 3 = 0.
Les deux nombres écrits en rouge sont différents. Les plans P1 et P2 sont strictement parallèles.
d) Le point A(2 ;3 ;-5) appartient à la droite (d). Faux.
Si A appartient à la droite d, les coordonnées de ce point doivent vérifier :
2 = 2t+1 ; soit t =0,5 ;   y = -t-3 = -0,5-3 = -3,5 différent de yA.

Exercice 3. Lecture graphique.
On considère la représentation graphique (C) d’une fonction f définie sur R ainsi que la tangente à cette courbe au point A de coordonnées (0 ;1).

a) ⨍’(0) = 1. Vrai.
b) ⨍’(1) = 1,5. Faux.
En B, la tangente à la courbe C est horizontale, f '(1) = 0.
c) L’équation ⨍(x) = x possède une unique solution sur [−1,5 ;4]. Vrai.
d) L'aire hachurée est comprise entre 2 et 4 unités d'aire.
Vrai.

Exercice 4.
  Volume d’un parallélépipède rectangle.
On veut réaliser, dans l'angle d'un plan de travail, un placard ayant la forme d'un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si sa largeur
est x, sa profondeur est 12− x et la hauteur est égale à la profondeur.
On suppose x appartient à [0;12] (les dimensions sont exprimées en dm).
a) Le volume V(x) en dm3 de ce placard est égal à Vx)= (– 12x + x2)  (x – 12). Vrai.
(12-x)(12-x)x = (x-12)(x-12)x = (x-12)(
– 12x + x2)
On pose f la fonction définie sur [0 ;12] par ⨍(x)=x3 – 24x2 + 144x de courbe représentative (C) ci-dessous.

b) Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ;12], f ' (x) > • 0. Faux.
La fonction est croissante ( f '(x) > 0) , passe par un maximum et puis décroït ( f '(x) < 0)..
c) V(x) = 2 × f(x). Faux.
V(x) =
(– 12x + x2)  (x – 12) =x3-24x2+144x
d) Dans le cas particulier où le parallélépipède rectangle serait un cube, son volume serait compris entre 200 et 225 dm3. Vrai.
V(x) = x3
=x3-24x2+144x soit 24x = 144 soit x = 6 ; V(6) = 63 = 216 dm3.

Exercice 5.
Utilisation d’une suite dans un algorithme.
On considère la suite (un) définie sur N par u0 = 1 et, pour tout n entier, un+1 = 0,5(un – n) – 1.
On donne l’algorithme suivant :
Entrée : n est un entier naturel.
Initialisation : u prend la valeur 1 ;
i prend la valeur 0.
Traitement : Tant que i < n
u prend la valeur
0,5(un – i) – 1.
i prend la valeur i + 1
Fin Tant que.
Sortie : Afficher u.
a) Pour n=3, l’algorithme nous donne le tableau suivant : Faux.
n
u
i
3
1
0
3
-0,5
1
3
-1,75 = -7 / 4
2
3
-23 / 4 ; -2,875= - 23 / 8
3

b) Pour n=3, l’algorithme calcul un. Vrai.
On considère la suite (vn) définie sur N par vn = un + n.
c) La suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme v0 = 1. Vrai.
v0 = u0 +0 = 1 ;
vn+1 = un+1 + n+1 = 0,5(un -n) -1+ n+1 =0,5 un +0,5 n=0,5(un+n)=0,5 vn.
d) Pour tout n entier, un =1 / 2n + n. Faux.
un =vn-n = 1 / 2n -n.




 


Exercice 6.
Utilisation d’un algorithme avec les complexes.
On se place dans le plan complexe et on donne l’algorithme suivant :
Entrée : θ est un nombre réel.
a est un nombre réel.
b est un nombre réel.
a’ est un nombre réel.
b’ est un nombre réel.
Traitement : a’ prend la valeur a x cos(θ).
a’ prend la valeur a’ - b x sin(θ).
b’ prend la valeur a x sin(θ).
b’ prend la valeur b’ + b x cos(θ).
Sortie : Afficher a’.
Afficher b’.
Pour le a) et b) on suppose θ= p/3, a = 1 et b = 1.
a) a' = (3½-1) / 2. Faux.
a' =
a x cos(θ) = cos(p/3) = 0,5 ;
a’ - b x sin(θ) =0,5 -sin(p/3) =0,5 -3½ / 2.
b) b' = (3½+1) / 2. Vrai.
b' =
a x sin(θ) = sin(p/3) = 3½ / 2
b’ + b x cos(θ) =3½ / 2+cos(p/3)=3½ / 2+0,5.
Dans toute la suite on posera M le point d’affixe z = a + ib et M’ le point d’affixe z’ = a’ + ib’ avec a’ et b’ les deux nombres obtenus dans l'algorithme précédent.
c) Si θ =
p/3, a = 1 et b = 1 alors |z'| = 2½. Vrai.
z' =
(-3½+1) / 2 + i (3½+1) / 2.
|z'| =[(-3½+1)2 +(3½+1)2 ]½ / 2=8½ / 2 =2½.
d) Dans le cas général où θ est réel, z' = ez. Vrai.
z’ = a’ + ib’ = a cos(θ)- b sin(θ) +i(a sin(θ)+bcos(θ)= a(cos(θ)+i sin(θ))+ib(cos(θ)+i sin(θ)).
z' =
(cos(θ)+i sin(θ) (a+ib) =ez.

Exercice 7. Bases de logique.
Pour le a) et b) on suppose z un nombre complexe et Γ un sous ensemble de ℂ.
a) z Šdiffére de zéro si et seulement si Re(z) et Im(z) Š 0 diffèrent de zéro. Vrai.
b) La contraposée de « si z appartient à Γ alors Re(z) = 0 » est « si Re(z) = 0 alors z appartient à Γ ». Faux.
« si Re(z) = 0 alors z n'appartient pas à Γ ».
Pour le c) et d) on suppose f une fonction définie sur I = [−3 ;5].
c) Si f(−3) < 0 et f(5) > 0 alors l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur I. Vrai.
d) Si f admet une primitive sur I = [−3 ;5] alors f est continue sur I = [−3 ;5]. Faux.


Exercice 8. Calculs de limites.
a) Quand x tend vers moins l'infini, ex tend vers moins l'infini. Faux.
Quand x tend vers moins l'infini, ex tend vers zéro.
b) Quand x tend vers plus l'infini, ln(1 / x2) tend vers zéro. Faux.
Quand x tend vers plus l'infini, (1 / x2) tend vers zéro et ln(1 / x2) tend vers moins l'infini.
c) Si, pour tout réel x non nul, 1 / x < f(x) < (x-1) / (x2+1), alors quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers zéro. Vrai.
Théorème des gendarmes.
d) Quand x tend vers p /2, [(sin (x) -1) / (x-p/2] tend vers 1. Faux.







Exercice 9. Calculs d'intégrales.

c) La fonction F(x)=(x2 − 2x + 2) ex− 2 est une primitive définie sur R de la fonction f(x) = x2ex. Vrai.
On pose u =
x2 − 2x + 2 et v = ex.
u' = 2x-2 et v' =ex ; u'v +v'u = (2x-2)ex +
(x2 − 2x + 2) ex =x2ex.
Donnée : constante d’acidité du couple (forme 2 / forme 1) : Ka. = 10-5,2.
a) La masse molaire ionique de la forme 1 est égale à 268 g.mol-1. Vrai.
M[C15H14N3O2- ]=15 x 12 + 14 +3 x14 +16 x2 =268 g / mol.


Exercice 10.
  Notions de bases sur les nombres complexes.
On se place dans le plan complexe. On considère A le point d’affixe zA = −2i, B le point d’affixe zB = −2 et E le point d’affixe zE = 2 + 2i3½.
a) L’écriture trigonométrique de 2
+ 2i3½ est 4(cos (p/3) + i sin (p/3). Vrai.
zE = 4(0,5 + i3½/2) = 4(cos (p/3) + i sin (p/3)= 4 exp(ip/3)..
b) E est situé sur le cercle de centre O et de rayon R = 2. Faux.
E est situé sur le cercle de centre O et de rayon R =4
c) L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z + 2i |= |2 + z| est la médiatrice du segment [AB]. Vrai.
z = a + ib ; MA = [(0-a)2+(-2-b)2] ½=(a2 +b2 +4 +4b)½ ;
MB = [(-2-a)2+(0-b)2] ½=(a2 +b2 +4 +4a)½ ;
|z + 2i |=[(a)2+(2+b)2] ½=(a2 +b2 +4 +4b)½ = MA.
|2 + z|= [(2+a)2+(b)2] ½=(a2 +b2 +4 +4a)½ = MB.
d) L’ensemble des points M d’affixe z tels que 2 z fois conjugué de z = 1 est un cercle de rayon 2. Faux.
z= x +iy ; conjugué de z = x-iy.
2(x+iy)(x-iy) = 2(x2+y2) = 1 ;
x2+y2= 0,5.

Exercice 11. Utilisation des nombres complexes en géométrie.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
Soit f la transformation du plan complexe qui, à tout point M d’affixe z non nul, associe le point M’ d’affixe z’ = 1 +i / z. .
a) L’image par f du point A d’affixe zA = 1 + i est le point A’ d’affixe zA’ =1,5 +0,5 i. Vrai.
zA’= 1+i /(1+i) =1+i(1-i) / (1-i2) =1+0,5 i +0.5.
Dans toute la suite, on pose z = x + iy avec x et y non nuls et z’ = x' + iy’ avec x' et y' réels.
b) Re(z’) = x’ = (x2+y2+y) / (x2 +y2). Vrai.
c) Im(z’) = y’ = x / (x22+y). Vrai.

d) L’ensemble des points M d’affixe z non nul tel que z’ soit imaginaire pur est le cercle (C) de centre A (0 ; -0,5)et de rayon R =0,5 privé du point O. Vrai.
x2+y2+y = 0.
x2+(y+0,5)2-0,25 = 0.

Exercice 12. Etude d’une fonction logarithme.
On considère la fonction f définie par : ⨍(x) = ln(1 − x2).
On note D l’ensemble de définition de f.
a) 1 – x2> ” 0 si et seulement si –1 <• x <• 1. Vrai
b) D = [−1;1].  Faux.
D = ]-1 ; 1 [.
c) La fonction f a pour fonction dérivée la fonction f ’ définie sur D par f ’(x) =1 / (1-x2). Faux.
On pose u = 1-x2 ; u' = -2x ; f '(x) = -2x /(1-x2).
d) L’équation f(x) = 1 a pour solutions x = (e−1)½ et x = −
(e−1)½.  Faux.
(e−1)½ et  −(e−1)½ n'appartiennent pas à D.


Exercice 13. Etude d’une fonction exponentielle.
Soit f la fonction définie par ⨍(x)= e2x /(x2+1). On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal du plan.
a) Quand x tend vers moins l'infini, f(x) tend vers moins l'infini. Faux.
Le terme e2x tend vers séro et
(x2+1) tend vers plus l'infini. t(x) tend donc vers zéro.
b) Quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers plus l'infini. Vrai.
Le terme e2x croît plus vite que le polynöme x2+1, au voisinage de plus l'infini..
c) La fonction f a pour fonction dérivée la fonction f ’ définie sur R par f ’(x) =2(x2-x+1) / (e-x(x2+1)) . Faux.
On pose u = e2x et v = x2+1 ; u' = 2e2x ; v' = 2x.
(u'v -v'u) / v2 =( 2e2x(x2+1)-2xe2x) / (x2+1)2=2e2x(x2+1-x) /
(x2+1)2.
d) f est croissante sur ]−oo €; 0] et décroissante sur [0;€+oo[. Faux.
La dérivée est du signe de
x2-x+1, polynome positif quel que soit la valeur de x.

Exercice 14.Bases en probabilités.
On considère, dans a), deux évènements E et F d’une même expérience aléatoire.
a) PF(E) = 1 – PF(E). Faux.
Pour le b), c) et d), nous utiliserons les hypothèses suivantes :
Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. Un joueur tire au hasard une boule dans l’urne.
Si la boule est blanche, il lance un dé tétraédrique dont les faces numérotées de 1 à 4 ont la même probabilité d’apparition.
Si la boule est noire, il lance un jeton dont les faces numérotées de 1 à 2 ont la même probabilité d’apparition.
On considère les événements suivants :
G : « Le joueur obtient le numéro 1 », B : « Le joueur tire une boule blanche ».
b) P(B∩G) =5 / 32  Vrai..
c) P(G) =13 / 32  Faux..
d) PG(B) =5 / 11  Vrai.


Exercice 15.  Différentes lois de probabilités.
a) Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [0 ;5].Faux.
P (1 < X <2,5) = 0,4.
(2,5-1) / 5 = 3 / 10 = 0,3.
b) Soit Y une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre l positif.
Pour tout c réel positif, P(Y > c) = e-lc. Vrai.
c) Soit T une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre  l= 0,1.
P (T < 10) = 1 −1/e . Vrai
1-e(-0,1 x10) =1-e-1.
d) Soit Z une variable aléatoire suivant une loi normale Ɲ(μ ; s2) et vérifiant P(0 < Z < 2) = 0,75.
La loi de Z n’est pas la loi normale centrée réduite Ɲ(0 ; 1). Vrai.
Dans l'hypothèse d'une loi normale centrée réduite N(0 ; 1),
P(0 < Z < 2) serait inférieur à 0,5.

Exercice 16.
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé  on considère le plan P d’équation cartésienne x + 2y + 3z – 2 = 0 et la droite D dont une représentation paramétrique est, pour tout réel t, x = t ; y = 2-3t ; z = -3-t..
a) Le point A(−1 ; 3 ; −2) appartient à D. Faux.
Si A appartient à la droite D, ses coordonnées vérifient :
-1 = t ; y = 2-3(-1) =5, différent de yA.
b) Le plan P et la droite D sont sécants au point B de coordonnées (−3 ; 4 ; −1). Faux.
 Si B appartient au plan, ces coordonnées vérifient l'équation
x + 2y + 3z – 2 = 0.
-3 +2(4)+3(-1)-2 = 0 est vraie
Si B appartient à la droite D, ses coordonnées vérifient :
-3 = t ; y = 2-3(-3)=11, différent de yB.
c) La droite D’, de représentation paramétrique pour tout réel k, x = k ; y = -2k+1 ; z = k est sécante au plan P. Faux.
La droite D' et le plan P sont sécants s'il existe un rél k tel que : k +2(-2k+1)+3k-2=0 soit 0k+0=0.
Cette dernière relation est vérifiée quel que soit t : la droite D' est contenue dans le plan P.

d) Les droites D et D’ sont coplanaires. Faux..


Les droites ne sont ni parallèles, ni sécantes, elles sont donc non coplanaires.