Mathématiques, Nombres complexes, concours Audioprothésiste Bordeaux

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On se place dans le plan complexe orienté.
Question  10.
  L'ensemble des points M d'affixe z vérifiant |z-i+1| =|z-1| est :
A. une droite. Vrai.
B.un cercle
c. une parabole
D. une hyperbole
E. un carré.
z = x+iy ; z-i+1 = x+1+i(y-1) ;
|z-i+1| =( (x+1)2+(y-1)2 )½.
z-1 = x-1 +iy ; |z-1| =
( (x-1)2+y2 )½.
(x+1)2+(y-1)2 = (x-1)2+y2  ; 4x-2y+1=0 ; y =2x+0,5.

d. Pour tout entier naturel n, le triangle OAn An+1 est isocèle et rectangle. Faux.

Question 11
Les points M d'affixe z solutions de l'équation z4 = 16 sont :
A. tous alignés
B. sur un cercle de centre O et de rayon 16.
C. les sommets d'un carré dont la longueur de la diagonale vaut 2.

D. les sommets d'un carré dont la longueur de la diagonale vaut 4. Vrai.
E. les sommets d'un carré dont la longueur de la diagonale vaut 32.
On pose Z = z2 ; Z1 = 4 et Z2 = -4.
z1 = 2 ; z2 = -2 ; z3 = 2i ; z4 = -2i.

Dans le plan complexe orienté on considère l'équation (E) : z4 +z3 +5z2+z+4=0.
Question 12
L'équation (E) admet exactement :
A. aucune racine imaginaire pure
B. une racine imaginaire pure.
 C. deux racines imaginaires pures.
Vrai.
D.
trois racines imaginaires pures.
E.
quatre racines imaginaires pures.
Si  z = i ; z2 = -1 ; z3= -i ; z4= 1 ; 1-i-5+i+4 = 0 est vérifié.
Si  z = -i ; z2 = -1 ; z3=+i ; z4= 1 ; 1+i-5-i+4 = 0 est vérifié.
(E) s'écrit : (z+i)(z-i)(z2+z+4)=0 ; (z2+1)
(z2+z+4)=0 ;
Solutions de : z2+z+4 = 0. Le discriminant étant négatif, il n'y a pas de solutions réelles, mais deux solutions du type z = a+ib avec a et b non nuls.

Question 13
L'équation (E) admet exactement :
A. aucune racine réelle. Vrai.
B. une racine réelle.
 C. deux racines réelles.

D.
trois racines réelles.
E.
quatre racines réelles.

Question 14
Le nombre de solutions distinctes de (E) de la forme a+ib avec a et b réels non nuls est exactement :
A. zéro
B. une.
C. deux. Vrai
D. trois.
E. quatre.

.


 


Complexes et géométrie.
12. L'écriture exponentielle de 2-2i est :

Dans les 4 items suivants on considère les nombres complexes z1 = 2 exp(ip/9) et z2 = -2 exp(-ip/9)
13. z127 est
A.
un réel strictement positif ;
 B. un réel strictement négatif ; vrai ;
C.
un imaginaire pur ;
D.
nul ;
 E.
aucune des propositions précédentes.
227 exp(
(ip/9 x27) = 227 exp((3ip) =227 exp((ip) = -227 .

14. z118 est
A.
un réel strictement positif ;
vrai ;
 B. un réel strictement négatif ;
C.
un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive;
D.
un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative;
 E.
aucune des propositions précédentes.
218 exp(
(ip/9 x18) = 218 exp((2ip) = 218. .

15. On a :
A.
z1 = z2
B.
z1 = - z2;
C. z1 = conjugué de  z2;
D.
z1 = -conjugué de  z2;
 E.
aucune des propositions précédentes. Vrai.
z1 = 2( cos ( p/9) +i sin (
p/9) ; z2 = -2( cos ( -p/9) +i sin (-p/9) = 2( -cos ( p/9) +i sin (p/9).

15. On a :
A.
z1 = z2
B.
z1 = - z2;
C. z1 = conjugué de  z2;
D.
z1 = -conjugué de  z2;
 E.
aucune des propositions précédentes. Vrai.

16. z1 +z2 est un :
A.
reél strictement positi f
B.
un réel strictement négatif ;
C. un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive ; vrai
D.
un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative ;
 E.
aucune des propositions précédentes. Vrai.

2( cos ( p/9) +i sin (p/9)+2( -cos ( p/9) +i sin (p/9) =4isin (p/9)~2,47 i.

17. L'écriture algébrique du nombre complexe z est :





On se place dans le plan complexe d'origine O.
Affixe de A : zA = 2+2i ;
affixe de B : zB =-2+2i , affixe de C : zC = a-3i avec a un réel ;
affixe de D : zD = -3½-i ;
affixe de E : zE = -3½+i ; affixe de F : zF = 3½+i.
18. Le triangle AOC est rectangle en O si a est égal à : :
A. 2 ; B. 3 vraiC. -2 ; D. -3E. aucune des propositions précédentes.
OA2 =22+22 = 8 ;
OC2 =a2+(-3)2 = 9+a2 ; AC2 = (a-2)2 +(-3-2)2=a2-4a+29.
OA2 +OC2 =AC2 ; 17+a2 =a2-4a+29 ; 4a=12 ; a=3.

On prend pour la suite la valeur de a telle que le triangle OAC est rectangle en O.

19.  On a :
A.  Le triangle AOB est rectangle en A ; B. Le triangle AOB est rectangle en O vrai ; C. Le triangle DOE est rectangle en D ;
D. Le triangle AOB est équilatéral ; E.
aucune des propositions précédentes.

20.  On a :
A.  Le triangle AOF est rectangle ; B. Le triangle DOE est rectangle en O ; C. Le triangle AOF est isocèle ;
D. Le triangle DOE est équilatéral ; E.
aucune des propositions précédentes. Vrai.

21.  On a :
A.  Le triangle AOC est équilatéral ; B. Le triangle DOB est rectangle ; C. Le triangle AOB est isocèle vrai ;
D. Le triangle AOB est équilatéral ; E.
aucune des propositions précédentes.
OA2 =22+22 = 8 ;
OB2 =(-2)2+22 = 8 ; AB2 = (-4)2 +(0)2=16.

22.  On a :
A.  Les points A, O et D sont alignés ; B. Les points B, O et C sont alignés ; C. Les points E, O et B sont alignés ;
D.
Les points A, O et F sont alignés ; E. aucune des propositions précédentes. Vrai.
23.  On a :
A. Les points A, O et E sont alignés ; B. Les points F, O et D sont alignés vra i; C. Les points E, O et F sont alignés ;
D.
Les points B, O et D sont alignés ; E. aucune des propositions précédentes.

Exercice 3.
On considère le nombre complexe z = 5 i exp(ip/8) :
10. Le module de z est :
A. 1 ; B. 5, vrai. C. -5 ; D. 
25. E. 5½.

11. L'argument de z est :
A. -p/8.
B. p/8. C. 5p/8, vrai. D. 3p/8 ; E. -5p/8.
z = 5 exp(ip/2)
exp(ip/8) =5 exp(i(p/2+p/8)).

12. z2 est :
A. un réel strictement positif ;
 B. un réel strictement négatif ;
C.
un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive ;
D.
un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative ;
 E.
aucune des propositions précédentes
vrai.
z2 = 25 exp(5ip/4) =25 ( cos(5p/4)+ i sin(5p/4)) .

13. arg(z2) est
A.
5p/4, vraiB. p/4 ;  C. 0 ; D. p/ 2 ; E.2 5p/ 64.

Exercice 4.
On considère un triangle ABC quelconque non aplati. Les points A, B et C ont pour affixes respectives zA, zB et zC.

14. L'angle CAB est obtenu en calculant :
A.
arg(zB)-arg(zC)
;
 B. arg(zB) /arg(zC );
C.
[
arg(zB -zA)] / [arg(zC-zA)];
D.
[ arg(zB)-arg(zA)] / [arg(zC)-arg(zA)];
 E. 
arg(zB -zA) - arg(zC-zA). Vrai.

Exercice 5.
Soient A et b deux points non confondus et I le milieu du segment [AB]. Dans le plan complexe, les points A, B et I, ont pour affixes respectifs zA, zB, zI.
15.

Exercice 6.
16. L'affixe de B est alors :


17. L'affixe de D est :
A. 2-i ; B. 6+i vraiC. -2i ; D. 4E. aucune des propositions précédentes.
C milieu de [AD] ; xC = 0,5(xA +xD) ;
xD=2xC -xA =4-(-2)=6.
yC = 0,5(yA +yD) ;yD=2yC -yA =-2-(-3)=1.