Mathématiques, suites numériques, concours Audioprothésiste Bordeaux

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2018.
Exercice5.
On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier n un+1 = 2un / (2+3un) et la suite (vn) par vn = 1 +2 / un.
Question 14
La suite (un) :
A. est arithmétique de raison -2 / 5. Faux.
u1 = 2 / 5 ; u2 = 1/4 ; u3 = 2/11.
B. est arithmétique de raison 3. Faux.
C. est géométrique de raison 2 / 5. Faux.
D. est géométrique de raison 3. Faux..
E. n'est ni arithmétique, ni géométrique. Vrai.

Question 15.
La suite (vn) :
 A. est arithmétique de raison -2 / 5. Faux.
v0 = 3 ; v1 = 6 ; v2 = 9.
vn+1 = 1 +(2+3un) / un = 4+2/un = 3 +vn.
B. est arithmétique de raison 3.Vrai.
C. est géométrique de raison 2 / 5. Faux.
D. est géométrique de raison 3. Faux..
E. n'est ni arithmétique, ni géométrique. Faux .

Question 16
Le terme général de la suite (un) s'exprime pour tout entier n : :
A.  2 / (2n+3). Vrai.
B. 2 / (2-3n). Faux.
C. 2 / (3n-2). Faux.
D. 2 / 3+2n. Faux.
E. aucune des propositions ci-dessus. Faux.


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Complexes et géométrie.
12. L'écriture exponentielle de 2-2i est :

 Dans les 4 items suivants on considère les nombres complexes z1 = 2 exp(ip/9) et z2 = -2 exp(-ip/9)
13. z127 est
A. un réel strictement positif ;
 B. un réel strictement négatif ; vrai ;
C. un imaginaire pur ;
D. nul ;
 E. aucune des propositions précédentes.
227 exp((ip/9 x27) = 227 exp((3ip) =227 exp((ip) = -227 .

14. z118 est
A. un réel strictement positif ; vrai ;
 B. un réel strictement négatif ;
C. un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive;
D. un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative;
 E. aucune des propositions précédentes.
218 exp((ip/9 x18) = 218 exp((2ip) = 218. .

15. On a :
A. z1 = z2;  B. z1 = - z2;
C. z1 = conjugué de  z2;
D. z1 = -conjugué de  z2;
 E. aucune des propositions précédentes. Vrai.
z1 = 2( cos ( p/9) +i sin (p/9) ; z2 = -2( cos ( -p/9) +i sin (-p/9) = 2( -cos ( p/9) +i sin (p/9).

15. On a :
A. z1 = z2;  B. z1 = - z2;
C. z1 = conjugué de  z2;
D. z1 = -conjugué de  z2;
 E. aucune des propositions précédentes. Vrai.

16. z1 +z2 est un :
A. reél strictement positi f;  B. un réel strictement négatif ;
C. un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive ; vrai
D. un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative ;
 E. aucune des propositions précédentes. Vrai.
2( cos ( p/9) +i sin (p/9)+2( -cos ( p/9) +i sin (p/9) =4isin (p/9)~2,47 i.

17. L'écriture algébrique du nombre complexe z est :





On se place dans le plan complexe d'origine O.
Affixe de A : zA = 2+2i ; affixe de B : zB =-2+2i , affixe de C : zC = a-3i avec a un réel ;
affixe de D : zD = -3½-i ; affixe de E : zE = -3½+i ; affixe de F : zF = 3½+i.
18. Le triangle AOC est rectangle en O si a est égal à : :
A. 2 ; B. 3 vrai ;  C. -2 ; D. -3;  E. aucune des propositions précédentes.
OA2 =22+22 = 8 ; OC2 =a2+(-3)2 = 9+a2 ; AC2 = (a-2)2 +(-3-2)2=a2-4a+29.
OA2 +OC2 =AC2 ; 17+a2 =a2-4a+29 ; 4a=12 ; a=3.

On prend pour la suite la valeur de a telle que le triangle OAC est rectangle en O.

19.  On a :
A.  Le triangle AOB est rectangle en A ; B. Le triangle AOB est rectangle en O vrai ; C. Le triangle DOE est rectangle en D ;
D. Le triangle AOB est équilatéral ; E. aucune des propositions précédentes.

20.  On a :
A.  Le triangle AOF est rectangle ; B. Le triangle DOE est rectangle en O ; C. Le triangle AOF est isocèle ;
D. Le triangle DOE est équilatéral ; E. aucune des propositions précédentes. Vrai.

21.  On a :
A.  Le triangle AOC est équilatéral ; B. Le triangle DOB est rectangle ; C. Le triangle AOB est isocèle vrai ;
D. Le triangle AOB est équilatéral ; E. aucune des propositions précédentes.
OA2 =22+22 = 8 ; OB2 =(-2)2+22 = 8 ; AB2 = (-4)2 +(0)2=16.

22.  On a :
A.  Les points A, O et D sont alignés ; B. Les points B, O et C sont alignés ; C. Les points E, O et B sont alignés ;
D. Les points A, O et F sont alignés ; E. aucune des propositions précédentes. Vrai.
23.  On a :
A. Les points A, O et E sont alignés ; B. Les points F, O et D sont alignés vra i; C. Les points E, O et F sont alignés ;
D.Les points B, O et D sont alignés ; E. aucune des propositions précédentes.

Exercice 3.
On considère le nombre complexe z = 5 i exp(ip/8) :
10. Le module de z est :
A. 1 ; B. 5, vrai. C. -5 ; D.  25. E. 5½.

11. L'argument de z est :
A. -p/8. B. p/8. C. 5p/8, vrai. D. 3p/8 ; E. -5p/8.
z = 5 exp(ip/2) exp(ip/8) =5 exp(i(p/2+p/8)).

12. z2 est :
 A. un réel strictement positif ;
 B. un réel strictement négatif ;
C. un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive ;
D. un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative ;
 E. aucune des propositions précédentes vrai.
z2 = 25 exp(5ip/4) =25 ( cos(5p/4)+ i sin(5p/4)) .

13. arg(z2) est
A. 5p/4, vrai ;  B. p/4 ;  C. 0 ; D. p/ 2 ; E.2 5p/ 64.

Exercice 4.
On considère un triangle ABC quelconque non aplati. Les points A, B et C ont pour affixes respectives zA, zB et zC.
14. L'angle CAB est obtenu en calculant :
A. arg(zB)-arg(zC) ;
 B. arg(zB) /arg(zC );
C. [ arg(zB -zA)] / [arg(zC-zA)];
D. [ arg(zB)-arg(zA)] / [arg(zC)-arg(zA)];
 E. arg(zB -zA) - arg(zC-zA). Vrai.

Exercice 5.
Soient A et b deux points non confondus et I le milieu du segment [AB]. Dans le plan complexe, les points A, B et I, ont pour affixes respectifs zA, zB, zI.
15.

Exercice 6.
16. L'affixe de B est alors :


17. L'affixe de D est :
A. 2-i ; B. 6+i vrai ;  C. -2i ; D. 4;  E. aucune des propositions précédentes.
C milieu de [AD] ; xC = 0,5(xA +xD) ; xD=2xC -xA =4-(-2)=6.
yC = 0,5(yA +yD) ;yD=2yC -yA =-2-(-3)=1.