Mathématiques, suites numériques, concours ENSM

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2015 .
Exercice 3.
La famille de fonctions fn est dénie pour n appartenant à N* et t appartenant à [0; 1] par
fn(t) =(t + 1) / (t + 2) exp(−t /n).
On note Cn, pour n entier positif, la courbe représentative de la fonction fn et on considère ensuite la suite (un) déffinie pour n n entier positif par :
1. Sur le graphique suivant on a représenté les courbes C1, C2 et C3.

(a) Que représentent les nombres u1, u2 et u3 pour les courbes C1, C2 et C3 ?
L'aire A de la surface comprise entre la courbe Ci, l'axe des abscisses, la droite d'équation x=0 et la droite d'équation x=1.
(b) A l'aide du graphique dire quel semble être le sens de variation de la suite (un). Pourquoi ?
L'aire A croît lorsque n augmente. La suite (un) est croissante.
2. Démontrer que le sens de variation de la suite (un ) est celui observé à la question précédente.
fn(t) =(t + 1) / (t + 2) exp(−t /n) est la dérivée de (un).
Pour t compris appartenant à [0 ; 1 ], fn(t) est positive. Par suite (un) est strictement croissante.
 3. Vérier que (t + 1) / (t + 2)= 1 −1/(t + 2).
1-1/(t+2) = (t+2) /(t+2) -1/(t+2) = (t+1) / (t+2).
4. Déterminer alors J :

5. Montrer alors Je-1/n < un < J pour tout n entier positif.

6. En déduire que (un) est convergente. Déterminer sa limite.
La suite est strictement croissante et majorée par J =1+ln2-ln3. La suite converge vers J~0,59.

2016.Question 1 ( 4 points).
Un volume constant de 2200 m3 d'eau est réparti entre deux bassins A et B. Une circulation est créée entre les bassins à l'aide d'un système de pompes. A a une capacité de 1200 m3 et contient initialement 800 m3 d'eau. Toutes les 24 heures, 15 % du volume d'eau présent en B est transféré vers A alors que 10 % du volume d'eau du bassin A est transféré vers B.
Pour tout entier n > 1 on pose :
an le volume d'eau en m3 contenu dans le bassin A après le n ième jour de fonctionnement.
bn le volume d'eau en m3 contenu dans le bassin A après le n ième jour de fonctionnement.
On a donc a1 = 800.
1.a. Par quelle égalité liant an et bn, la conservation du volume d'eau se traduit-elle ?
an + bn = 2200.
1.b. Justifier que pour tout entier n >1, on a : an+1 = 0,75 an +330.
an+1 = 0,9an+0,15 bn  = 0,9a1+0,15 (2200-an) = 0,75 an+330
2.a. Le plan étant muni d'un repère orthogonal ( 1 cm représente 200 m3 ), on note D et D' les droites d'équations y = x et y = 0,75x +330. Représenter graphiquement les 5 premiers termes de la suite (an).

2.b. On note (un) la suite définie par un = an -1320 pour tout entier n >1.
Montrer que (un) est une suite géométrique. En déduire l'expression de an en fonction de n.
un+1=0,75 an +330-1320 = 0,75 an -990= 0,75 ( an -990 / 0,75) =0,75 ( an -1320) = 0,75 un.
(un) est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme u1 =800-1320= = -520.
an = un +1320= 1320-520x 0,75n-1.
2.c. Au bout de combien de jours doit-on stopper la circulation d'eau pour éviter le débordement du bassin A ?
1320-520x 0,75n-1< 1200 ; 120 < 520 x 0,75 n-1 ;
ln ( 120 / 520) < (n-1) ln (0,75) ;  n-1 <5,1 ; n < 6.


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2017.
Question 2.
Soit f la fonction définie sur ]-0,5 ; +oo[ par f(x) = 2x /(1+2x).
On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et pour tout entier n, par un+1 = f(un).
1. Sur le graphique suivant, construire les points d'abscisses u0, u1, u2 et u3. ( aucun calcul n'est attendu ).

1.2. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite (un) ?
La suite est décroissante. La suite est minorée par 0,50.
2.1. Etudier les variations de la fonction f sur son ensemble de définition.
On pose u = 2x ; v = 2x+1 ; u' = 2 ; v' = 2 ; (u'v-v'u) / v2=(4x+2-4x) / (1+2x)2 = 2 /(1+2x)2.
La dérivée est positive ; f(x) est strictement croissante.
2.2. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, 0,5 < un+1 < un.
Initialisation : u0 = 2 ; u1 = 0,8 , la propriété est vrai au rang zéro.
Hérédité : 0,5 < up+1 < up est supposée vrai.
f est croissante :  f(up+1) < f(up) soit up+2 < up+1 .
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, donc elle est vrai pour tout entier n.
2.3. En déduire que la suite converge.
La suite est décroissante et minorée par 0,5. Elle converge.
3. On considère la suite (vn) définie sur N par : pour tout entier naturel n, vn = (1-2un) / un
3.1. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,5.
vn = 1 / un -2 = 1 / f(un-1) -2 = (1+2un-1) / (2 un-1) -2 = (1-2un-1) / (2 un-1)= vn-1 / 2.
3.2. Déterminer l'expression de vn puis celle de un en fonction de n.
v0 = (1-2u0) / u0 =(1-4) / 2 = -1,5.
vn = -1,5 *0,5n ; un vn= 1-2un  ; un=1 / (vn+2) =1 / (-1,5 *0,5n +2).
3.3 En déduire la limite de la suite (un).
Quand n tend vers plus l'infini, 0,5n tend vers zéro et un tend vers 1 / 2.
3.4 Déterminer le premier entier n0 tel que pour tout n > n0, un < 0,501.
1 / (-1,5 *0,5n +2) < 0,501 ; 1 < 0,501(-1,5 *0,5n +2) ;
1 < 1,002 -0,7515*0,5n ; 0,7515*0,5n < 0,002 ; 0,5n < 0,002 / 0,7515 ; 0,5n < 0,00266 ;
n  ln(0,5) < ln (0,00266) ; n > 8,55 ; n0 = 9.





2018
2ème question.
1. Etude d'une fonction.
On considère la fonction f définie sur [0 ; +oo[ par f(x) = 5-4 / (x+1).
1.1. Dresser le tableau de variation complet sur son ensemble de définition.
Limites : quand x tend vers l'infini, f(x) tend vers 5.
Quand x tend vers zéro, f(x) tend vers 1.
Dérivée : f '(x) = 4 /(x+1)2. f '(x) est positive et f(x) est strictement croissante sur [0 ; +oo[

1.2. Résoudre l'équation f(x) = x et montrer qu'elle admet une solution unique a  dont on donnera la valeur exacte et un arrondi à 10-2 près.
5-4 /(x+1) = x ; 5(x+1) -4-x(x+1) =0 ; -x2 +4x+1 = 0.
Discriminant D = 42 +4 = 20 ; on retient la solution positive : a = (-4 -2*5½) /(-2) = 2+5½~4,23.
 1.3. Démontrer que pour tout x appartenant à [0 ; a], f(x) appartient à [0 ; a].
f(0) = 1 ; f(a) = (5a-1) / (1+a) ~3,85, inférieur à a.
f(x) est strictement croissante sur [0 ; a]. D'après le théorème des valeurs intermédiaires,  pour tout x appartenant à [0 ; a], f(x) appartient à [0 ; a].
2. Etude d'une suite.
On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n par un+1 = f(un).
2.1. Calculer u1.
u1=f(u0) = 1 ; u2 = f(1) =3 ; u3 =4 ; u4=4,2.
2.2. Construire graphiquement sur l'axe des abscisses les points  P0, P1, P2, P3 d'abscisses respectives u0, u1, u2 et u3.


2.3 Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de (un) ?
La suite est croissante et bornée. Donc elle converge.
2.4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 < un < un+1 < a.
Initialisation : 0 < u0 < u1 < a. La propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : on suppose que 0 < up < up+1 < a est vraie.
f(x) étant strictement croissante sur [0 ; a] et  f(x) appartenant à [0 ; a].
0 < f(up) < f(up+1) < a , donc 0 < up+1 < up+2 < a est vraie.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel.
2.5. En déduire que (un) est convergente et calculer sa limite.
f(x) étant strictement croissante sur [0 ; a] et  f(x) appartenant à [0 ; a] :
la suite est strictement croissante et bornée par a, donc elle converge.
 2.6. Ecrire en langage naturel un algorithme qui demande la valeur de e et affiche en sortie le premier entier n tel que |un-a| < e.
Variables : n entier ; un, e , a réels.
un = u0=0.
n=0.
Affecter à a la valeur de a.
Demander la valeur de e et affecter cette valeur à e.
Tant que |un-a| < e faire :
Affecter à un la valeur 5-4 / (un+1).
n = n+1.
Fin Tant que
Afficher n.
3. On donne à u0 une valeur positive quelconque.
Emettre une conjecture sur le sens de variation et la limite de la suite (un) en fonction des valeurs de u0.
un+1 = f(un) et la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +oo[.
De plus 1 < f(x) < 5.
0 < u0 < a, la suite est  strictement croissante et bornée par a.
u0 = a, la suite est constante.
a < u0 , la suite est  strictement décroissante et bornée par a.