Mathématiques, bac St2S Antilles septembre 2019.

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Exercice 1. 6 points
L’animatrice d’une maison de retraite propose deux sorties aux 80 résidents : la visite d’une fromagerie et la visite d’un musée.
Sur les 80 résidents,
• 30 résidents se sont inscrits à la visite de la fromagerie,
• 25 résidents se sont inscrits à la visite du musée,
• 20 résidents se sont inscrits aux deux visites.
1. Compléter le tableau d’effectifs. Aucune justification n’est exigée.

Inscrits à la fromagerie
Non inscrits à la fromagerie
Total
Inscrits à la visite du musée
20
25-20=5
25
Non inscrits à la visite du musée
30-20=10
50-5=45
80-25=55
Total
30
80-30 = 50
80

2. On choisit un résident au hasard.
On note F l’évènement : « le résident est inscrit à la visite de la fromagerie ».
On note M l’évènement : « le résident est inscrit à la visite du musée ».
a. Déterminer les probabilités P(F) et P(M).
P(F) = 30 / 80 =0,375.
P(M) =25 / 80 =0,3125.
b. Définir par une phrase l’évènement F ∩M et calculer la probabilité de cet évènement.
Probabilité q'un résident se soit inscrit aux deux visites : 20 /80 = 0,25.
c. Calculer la probabilité que le résident choisi au hasard soit inscrit à la visite de la fromagerie ou à la visite du musée.
P(F u M) =P(F) + P(M) -P(F n M) =0,375 +0,3125 -0,25 =0,4375.
3. Déterminer PF (M). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
PF (M) =P(F n M) / P(M) =0,25 / 0,3125 =0,80.
Probabilité qu'un résident visite le musée sachant qu'il a visité la fromagerie.
4. a. Montrer que si un résident n’est pas inscrit à la visite du musée, alors il y a plus de 8 chances sur 10 pour qu’il ne soit pas inscrit à la visite de la fromagerie.
Pnon M( non F) =45 / 50 =0,90.
b. L’animatrice affirme que si un résident n’est pas inscrit à une des visites, il y a une forte probabilité qu’il ne soit pas inscrit à l’autre.
Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier la réponse.

Pnon F( non M) =10 / 45 ~0,222.

L'affirmation est vraie.

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Exercice 2. 8 points.
En France, nous sommes tous des donneurs potentiels d’organes et de tissus, sauf en cas de refus explicite.
Dans un rapport sur l’application de la loi de bioéthique, en date de janvier 2018, l’agence de biomédecine fait état de l’évolution du nombre de donneurs décédés en état de mort encéphalique, et des prélèvements effectifs sur ces donneurs.
Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A : donneurs décédés
Le nombre de donneurs décédés, en état de mort encéphalique, de 2012 à 2016, est donné par le tableau suivant :

Année
2012
2013
2014
2015
2016
Rang de l'année xi
0
1
2
3
4
Nombre de donneurs yi
3301
3336
3547
3579
3676
1. Représenter le nuage de points de coordonnées (xi ; yi ) associé aux données du tableau précédent.

2. a. Montrer que les coordonnées du point moyen G de ce nuage sont G(2; 3487,8).
(0 +1 +2 +3 +4 ) 5 =2.
(3301 +3336 +3547 +3579 +3676) / 5 = 3487,8.
b. Placer G sur le graphique.
3. Soit (D) la droite d’équation = 99,1x +3289,6.
a. Montrer que G appartient à cette droite (D).
99,1 x2 +3289,6 =3487,8 = yG.
b. Tracer la droite (D)  en précisant les coordonnées des points utilisés.
Point G et point de coordonnées (0 ; 3289,6).
4. On décide de faire un ajustement affine du nuage de points par la droite (D). On considère que cet ajustement est valable jusqu’en 2025. À l’aide de cet ajustement, estimer :
a. graphiquement, l’année à partir de laquelle le nombre de donneurs dépassera 4 000 ;
b. par le calcul, le nombre de donneurs en 2023.
x = 11 ; y = 99,1 x11 +3289,6 ~4380.

PARTIE B :
Les donneurs décédés, en état demort encéphalique, effectivement prélevés sont donnés par le tableau suivant :
Année
2012
2013
2014
2015
2016
Nombre de donneurs prélevés
1589
1627
1655
1769
1770

La tendance de croissance observée sur la période 2012-2016 permet de modéliser l’évolution du nombre de donneurs prélevés chaque année, par une augmentation annuelle de 2,7% à partir de l’année 2016.
On note alors vn l’estimation, selon ce modèle, du nombre de donneurs prélevés au cours de l’année (2016+n), pour n entier naturel.
Ainsi v0 = 1770.
1. Calculer v1 et v2 (arrondir les résultats à l’unité). Interpréter le résultat trouvé pour v2 dans le contexte de l’exercice.
v1 = 1,027 v0 = 1,027 x1770 ~1818.
v2 = 1,027 v1 = 1,027 x1818 ~1867.
2. On utilise la feuille de calcul ci-dessous pour calculer l’estimation selon ce modèle du nombre de donneurs prélevés.

A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
Année
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2
Nombre de donneurs prélevés
1770








Quelle formule, à recopier vers la droite, peut-on saisir dans la cellule C2 pour obtenir l’estimation du nombre de donneurs prélevés les années suivantes ?
=B2*1,027
3. Indiquer, sans justification, la nature de la suite (vn) et préciser sa raison.
Suite géométrique de raison 1,027.
4. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.
vn = 1770 x1,027n.
5. Montrer que, selon ce modèle, on peut estimer à 2 133 le nombre de donneurs prélevés en 2023.
n =7 ; v7 = 1770 x1,0277 ~2133.
Partie C :
Un analyste affirme que, selon les estimations des parties A et B, la proportion de donneurs décédés en état de mort encéphalique en 2023 qui seront effectivement prélevés ne dépassera pas 50%. Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier la réponse.
2133 /4380  x100 =48,7 %. L'affirmation est correcte.


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Exercice 3. 6 points.
Le réseau Sentinelles a recensé en continu le nombre de personnes atteintes de la grippe sur une période de 15 semaines au cours de l’hiver 2017.
Le seuil épidémique étant fixé à 175 cas pour 100 000 habitants, le suivi épidémiologique est déclenché après 7 semaines de recensement et s’achève à la fin de la 15e semaine.
La courbe suivante représente l’évolution du nombre de cas pour 100 000 habitants sur la période de suivi épidémiologique.
Partie A : Lectures graphiques
On fera apparaÎtre les traits utiles à la lecture.
1. a. Après combien de semaines de recensement, le pic épidémiologique a-il été atteint ?
10 semaines
b. Quel a été le nombre de cas recensés pour 100 000 habitants au moment de ce pic ?
400
2. Durant combien de semaines, le nombre de cas de grippe pour 100 000 habitants a-t-il été supérieur à 300?
environ 5 semaines.
3. Après combien de semaines de recensement le nombre de cas de grippe pour 100 000 habitants est-il redevenu inférieur au seuil épidémique ?
14 semaines.

Partie B : Étude de fonction
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [7; 15] par :
f (x) = 1,3x3 −58,5x2 +780x −2850.
Cette fonction f permet de modéliser, en fonction du temps x exprimé en semaines, l’évolution du nombre de cas de grippe pour 100 000 habitants sur la période de suivi épidémiologique.
1. Calculer f (7), f (10) et f (15).
f(7) = 1,3 x73 -58,5 x72 +780 x7 -2850 =445,9- 2866,5 +5460 -2850 =189,4.
f(10) = 1,3 x103 -58,5 x102 +780 x10 -2850 =1300- 5850 +7800 -2850 =400.
f(15) = 1,3 x153 -58,5 x152 +780 x15 -2850 =4387,5- 13162,5 +11700 -2850 =75.
2. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
a. Déterminer f ′(x) pour tout réel x de l’intervalle [7; 15].
f 'x) =1,3 x3 x2 -2 x58,5 x +780 =
3,9 x2 -117 x +780
b. Vérifier que f ′(x) = 3,9(x −10)(x −20).
On développe  : 3,9 x2 -39 x -78 x +780 =
3,9 x2 -117 x +780.
3. Compléter le tableau, qui donne le signe de la dérivée f ′ et les variations de f .


 

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