Mathématiques, bac Sti2D  Antilles septembre 2019. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . ...... ..... Exercice 1. 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie. 1. On considère une fonction f dont le tableau de variations et le tableau de signes sont donnés ci-dessous : Une courbe susceptible de représenter la fonction f est : b. exclu : f(x) est positive sur l'intervalle ] -oo  ; -1]. a. exclu : f(x) positive sur l'intervalle [-1 ; 0]. d. exclu, la droite d'équation x = 1 n'est pas asymptote. Répponse c. 2. On considère f et g deux fonctions définies sur R par : f (x) = 4x3 et g (x)= x2+x +2. On note : • Cf et Cg les courbes représentatives respectives des fonctions f et g . • D le domaine délimité par les courbes Cf et Cg , l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1. L’aire du domaine D, exprimée en unité d’aire, est égale à : 31 / 24 ; 31 /12 ; 15 / 8 ; 11 / 6. Primitive de f(x) entre 0 et 1 : [x4]0 1 =1. Primitive de g(x) entre 0 et 1 : [x3/3 +0,5 x2 +2x]0 1 =1/3 +1 /2 +2 =.2 /6 +3 /6 +12/6 =17 / 6. Faire la différence : 17 /6 -1= 11 /6. 3. Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale de paramètres μ et s. L’aire du domaine grisé est environ égale à 0,68. À partir de ce graphique, on en déduit que : a. μ = 2 et s = 5 b. μ = 0,2 et s = 5 c. μ = 5 et s= 1 d. μ = 5 et s = 2. Vrai. 4. Soit a un nombre réel. La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [3 ; a]. On sait que p(X < 7) = 0,8. La valeur de a est :7,2 ; 9 ; 8 ; 8,2. p(X < 7) = (7-3) / (a-3)=0,8 ; 4 = 0,8a -2,4 ; 0,8 a = 6,4 ; a = 8. ... Exercice 2. 5 points. Les abeilles assurent la reproduction de plus des trois-quarts des espèces végétales du globe terrestre grâce à la pollinisation. Depuis une dizaine d’années, on constate une diminution du nombre de colonies d’abeilles à cause de l’évolution du climat et de l’utilisation d’insecticides pour protéger certaines cultures. Partie A. On observe une colonie constituée de 40 000 abeilles.On estime que, dans cette colonie, 1 000 abeilles naissent chaque jour et 500 décèdent chaque jour de manière naturelle. Déterminer, en justifiant, le nombre de jours nécessaires pour que la population de cette colonie atteigne les 50 000 individus. On note x le nombre de jours : 40 000 +1000x -500 x = 50 000 ; 500 x = 10 000 ; x = 20. Partie B. Après ce premier temps d’observation, un insecticide est régulièrement pulvérisé dans le champ près duquel les abeilles butinent. On estime alors à 20 % la proportion d’abeilles de la colonie qui décèdent chaque jour à cause de cet insecticide. On suppose que le nombre de naissances et de décès de manière naturelle reste identique (1 000 naissances et 500 décès demanière naturelle). Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d’individus de la colonie n jours après le début des pulvérisations de l’insecticide. On a donc u0 =50000. 1. On modélise cette situation par la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un+1 = 0,8un +500. Calculer le nombre d’abeilles dans la colonie un jour après le début des pulvérisations. u1 = 0,8 u0 +500 = 40 500. 2. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn = un −2500. a. Montrer que, pour tout entier naturel n : vn+1 = 0,8vn. vn+1 = un+1 −2500 =0,8un +500 -2500 =0,8un -2000=0,8(vn-2500)=0,8vn. b. En déduire la nature de la suite (vn) et exprimer vn en fonction de n pour tout entier naturel n. Suite géométrique de premier terme v0 = u0-2500 = 47500 et de raison q = 0,8. vn = 47500 x0,8n. c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : un = 47500×0,8n +2500. un = vn +2500 =47500×0,8n +2500. 3. Des études ont montré qu’une colonie d’abeilles n’est plus en mesure d’assurer sa survie si elle compte moins de 5 000 individus. La colonie étudiée va-t-elle survivre? Justifier la réponse. 47500×0,8n +2500 < 5000 ; 47500×0,8n < 2500. 0,8n < 2500 / 47500 ; n ln(0,8) < ln(2500 / 47500) ; n > 13 jours. Au bout de 13 jours, la colonie ne peut survivre. Partie C. Le but de cette partie est de valider, ou non, la proportion p = 0,2 d’abeilles qui décèdent chaque jour à cause de l’insecticide. L’insecticide utilisé ici provoque la désorientation des abeilles, ce qui perturbe leur retour à la colonie et entraîne leur mort. Un matin, on équipe 500 abeilles de la colonie, de puces électroniques. On constate le lendemain que, dans cet échantillon de 500 abeilles, 102 sont décédées à cause de l’insecticide. Cette observation est-elle compatible avec l’hypothèse p = 0,2 au seuil de 95 % ? n = 500 > 30 ; np = 500 x0,2 = 100 > 5 ; n(1-p) =500 x0,8 = 400. On peut définir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. 1,96 (0,2 x0,8 / 500)½ =0,035. Intervalle de fluctuation : [0,2 -0,035 ; 0,2 +0,035] soit [0,165 ; 0,235]. Fréquence observée : 102 / 500 = 0,204. Cette valeur appartient à l'intervalle précédent. L'observation est compatible. .... Exercice 3. 7 points. Partie A. Dans cet exercice, on s’intéresse aux batteries des voitures électriques. La charge (énergie restituable) est exprimée en kilowattheure. Conformément à l’usage commercial, on appelle capacité la charge complète d’une batterie. 1. La puissance de charge P d’une borne de recharge, exprimée en Watt (W), s’obtient en multipliant sa tension U, exprimée en Volt (V), par son intensité I, exprimée en Ampère (A). Dans la pratique, on considère que le temps T de charge complète d’une batterie vide, exprimé en heure (h), s’obtient en divisant la capacité C de la batterie, exprimée usuellement en kilowattheure (kWh), par la puissance de charge P de la borne de recharge exprimée en kilowatt (kW). On considère une batterie de la marque D ( 60 kWh). Déterminer le temps de charge complète de cette batterie sur une borne de recharge " Rapide" ( U = 400 V; I = 63 A).  Exprimer le résultat en heures et minutes. 60 / (0,4 x 63) =2,38 h ou 2 h 23 min. 2. Lors du branchement d’une batterie vide de marque A (22 kWh) sur une borne de recharge de type «Normal »(230 V ; 16 ou 32 A), la charge (en kWh) en fonction du temps (en heure) est modélisée par une fonction f définie et dérivable sur [0 ; +∞[, solution de l’équation différentielle : y′ +0,55y = 12,1. (E). a. Résoudre cette équation différentielle sur [0 ; +∞[. Solution générale de y' +0,55 y = 0 : y = A exp(-0,55t) avec A une constante. Solution particulière de (E) : y = 12,1 / 0,55 = 22. Solution générale de (E) :  y = A exp(-0,55t) +22. b. Justifier que f (0) = 0. Initialement la batterie n'est pas chargée. c. Montrer que la fonction f est définie sur [0 ; +∞[ par : f (t ) = −22exp(−0,55t) +22. f '(t) = 22 x0,55 exp(−0,55t)=12,1 exp(−0,55t). Repport dans (E) :12,1 exp(−0,55t) +0,55(−22exp(−0,55t) +22) = 0,55 x22 = 12,1. d. La durée de demi-charge est le temps nécessaire pour que la batterie soit chargée à 50%. Résoudre sur l’intervalle [0 ; +∞[ l’équation f (t ) = 11 et en déduire la durée d’une demi-charge, exprimée en heure et minute. −22exp(−0,55t) +22 = 11 ;  -exp(−0,55t) +1 = 0,5 ; exp(−0,55t)=0,5. -0,55 t = ln(0,5) ; t = ln(0,5) / (-0,55) ~1,26 h ou 1 h 16 min. e. Dans la pratique, on considère que le temps de charge complète de ce type de batterie est d’environ 6 heures. Vérifier l’affirmation " Après 50 % du temps de charge complète, la batterie est à environ à 80% de sa capacité de charge". f(3) =−22exp(−0,55x 3) +22= -4,2 +22 ~17,8  kWh.  17,8 / 22 x100 ~80,8 %. Partie B. Une thermistance est un composant électronique dont la résistance varie en fonction de la température et qui est utilisé, entre autres, comme capteur de température. Afin d’alerter les utilisateurs de cas de surchauffe, on munit les batteries de thermistances. Un constructeur de thermistances indique que la valeur R, exprimée en Ohm, de la résistance de celle-ci est donnée, pour des températures q, exprimées en degré Celsius (°C) et comprises entre 0 °C et 120 °C, par : R = −0,04q3+7,2q2−240q+3000. On considère la fonction g définie sur [0; 120] par : g (x) = −0,04x3+7,2x2−240x +3000. 1. a. Calculer g ′(x) où g ′ est la dérivée de g . g'(x) = -0,12x2+14,4x-240. b. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de g sur [0; 120]. -0,12x2+14,4x-240 = 0 ; discriminant : 14,42 -4 *240*0,12=207,36-115,2 =92,16 ; solutions  :(-14,4 -92,16½) / (2 x(-0,12)) =100 (-14,4 +92,16½) / (2 x(-0,12)) =20 g'(x) est négative sur [0 ; 20) et g(x) est décroissante. g'(x) est positive sur [20 ; 100) et g(x) est croissante. g'(x) est négative sur [100 ; 120) et g(x) est décroissante c. En déduire la résistance maximale et la température pour laquelle elle est atteinte. 2. Un message d’alerte apparaît sur l’ordinateur de bord du véhicule lorsque la résistance atteint 5 000 ­ohms, ce qui signifie que la batterie est trop chaude. On cherche la température correspondant à cette valeur. a. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement, à un degré près, de la température cherchée. 55,4 °C. b. On considère l’algorithme suivant : x ←20 y ←760 Tant que y < 5000 x ←x +1 y ←−0,04x3+7,2x2−240x +3000 Fin Tant que Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la fin de son exécution, la variable x contienne la température cherchée.   Exercice 4. 4 points. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument p /2. 1. On considère le nombre complexe z1 =2½ exp(ip/4). a. Écrire z1 sous forme algébrique. z1 =2½ ( cos(p/4) +i sin(p/4)) = 1+i b. Vérifier que z1 est solution de l’équation (2+i)z = 1+3i. (2+i)(1+i) =2 +i +2i +i2 =2+3i-1=1+3i. 2. Écrire le nombre complexe z2 = −1+i 3½ sous forme exponentielle. Module de z2 : (12 +3)½ = 2. z2 = 2 (-0,5 +i 3½ /2) = 2(cos(2p/3 )+i sin (2p/3)) =2exp(i 2p/3). 3. On considère z3 le nombre complexe de module 4 et d’argument 7 p/6. Vérifier que z3 = z21 ×z2. z21 =2 exp(ip/2) ; z2=2exp(i 2p/3). z3 =4exp(i 2p/3+ip/2 )= 4 exp(i 7p/6) 4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé On considère les trois points A, B et C d’affixes respectives zA = 1+i, zB = −1+i 3½ et zC =−2 *3½−2i. a. Placer les points A, B et C dans le plan complexe. b. Démontrer que le triangle OBC est rectangle en O. OB2 = (-1)2+(3½)2 =4. OC2 = (-2*3½)2+(-2)2 =16. zC-zB=−2 *3½−2i - (−1+i 3½)=(−2 *3½+1)-i (2+3½). BC2 = (−2 *3½+1)2+(2+3½)2 =12 +1-4 *3½+4 +3 +4 *3½=20. BC2 =OB2 +OC2 . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OBC est rectangle en O.

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