Mathématiques, logarithme, exponentielle,équation différentielle, bac Centres étrangers 2021.

Fonction logarithme ( 5 points).
Partie A.
Dans un pays une maladie touche la population avec une probabilité de 0,05. On possède un test de dépistage de cette maladie.
On considère un échantillon de n personnes ( n > 20) prises au hasard dans la population, assimilé à un tirage avec remise.
On teste l'échantillon selon cette méthode : on mélange le sang de ces n individus, on teste le mélange. Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.
Soit X_n la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses effectuées.
1. Montrer que X_n prend les valeurs 1 et n+1.
Test négatif : on a effectué une seule analyse.
Test positif : on effectue l'analyse du mélange puis les analyses des n personnes soit n+1 analyses.
2. Prouver que p(X_n = 1) = 0,95ⁿ. Etablir la loi de X_n.
On a effectué l'analyse du mélange et le test est négatif.
Probabilité qu'une personne ne soit pas malade : 0,95.
Probabilité que n personnes ne soit pas malades : 0,95ⁿ.

x_i	1	n+1
P(X_n=x_i)	0,95ⁿ	1-0,95ⁿ

3. Que représente l'espérance dans le cadre de cette expérience ? Montrer que E(X_n) = n+1-n x0,95ⁿ.
L'erspérance donne le nombre moyen d'analyses.
E(X_n) =0,95ⁿ +(n+1)(1-0,95ⁿ)=0,95ⁿ +n +1 -(n+1)0,95ⁿ =n+1-n x0,95ⁿ.

Partie B.
1. On considère la fonction f définie sur [20 ; +oo[ par f(x) = ln(x) + x ln(0,95). Montrer que f est décroissante.
f '(x) = 1/x +ln(0,95) = (1+xln(0,95) / x.
x > 20 ; x ln(0,95) < -1,026 ; (1+xln(0,95) <0.
f '(x) étant négatif, f(x) est décroissante.
2. Montrer que la limite de f(x) en plus l'infini est moins l'infini.
f(x) = x ( ln(0,95) +ln(x) / x).
Or ln(x) / x) tend vers zéro si x tend vers plus l'infini.
ln(0,95) < 0 ; f(x) tend vers moins l'infini si x tend vers plus l'infini.
3. Montrer que f(x) =0 admet une seule solution a sur [20 ; +oo[. Donner un encadrement à 0,1 de cette solution.
f(x) est strictement décroissante.
f(20) ~1,97 ; f(x) tend vers moins l'infini quand x tend vers plus l'infini.
D'après le théorème de la bijection, f(x) =0 admet une seule solution a sur [20 ; +oo[.
La calculatrice donne a = 87,0.

Si n > 87, f(x) < 0 ; si x < 87, f(x) > 0.
Partie C.
On cherche à comparer deux types de dépistages. La première méthode est décrite dans la partie A. La seconde consiste à tester tous les individus. La première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que E(X_n) < n.
En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d'analyses pour des échantillons comportant 87 personnes au maximum.
E(X_n) = n+1-n x0,95ⁿ < n.
1-n x0,95ⁿ < 0 ; 1 < n x0,95ⁿ .
ln(1) < ln(n) +n ln(0,95).
0 < ln(n) +n ln(0,95).
Or f(x) = ln(x) + x ln(0,95) est positif si x < 87.

Equation différentielle.
Partie A.
Soit g la fonction définie par : g(x) =2e^-x/3+2x/3-2.
1. Montrer que g'(x) = -2/3 e^-x/3 +2/3.
g'(x) = 2(-1/3) e^-x/3+2/3 = -2/3 e^-x/3 +2/3 = 2 /3(1-e^-x/3 ).
2. En déduire le sens de variation de la fonction g sur R.
g'(x) = 0 si e^-x/3 = 1 soit x=0.
g'(x) > 0 si x >0 et g(x) est croissante.
g'(x) < 0 si x < 0 et g(x) est décroissante.
3. Déterminer le signe de g(x).
Si x tend vers moins l'infini, g(x) tend vers plus l'infini.
g(0) =0 ( minimum ).
Si tend vers plus l'infini, g(x) tend vers plus l'infini.
g(x) décroit de plus l'infini à zéro puis croît ensuite ; g(x) est donc positive ou nulle sur R.

Partie B.
1. On considère l'équation différentielle (E) : 3y'+y = 0. Résoudre (E).
y'+y/3=0.
y = A e^-x/3 avec A une constante.
2. Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative passe par le point M(0 ; 2).
2 = A e⁰ soit A = 2.
3. Soit la fonction définie par f(x) = 2e^-x/3 et C_f sa courbe représentative.
a. Montrer que la tangente T à la courbe C_f au point M admet une équation de la forme y = -2x / 3 +2.
Coefficient directeur de la tangente T : g'(x) =-2/3e^-x/3 ; g(0) = -2/3.
T passe par M(0 ; 2) : 2 = -2 / 3 *0 +b ; b = 2.
b. Etudier sur R la position de cette courbe par rapport à sa tangente.
2e^-x/3 -(-2x/3+2) = 2e^-x/3 +2x/3-2 = g(x).
Or g(x) > 0, donc la courbe C_f est au dessus de la tangente T.

Partie C.
1. Soit A le point de la courbe C_f d'abscisse a, a réel quelconque.
Montrer que la tangente à la courbe C_f au point a coupe l'axe des abscisses en un point P d'abscisse a+3.
Coefficient directeur de cette tangente : f '(a) =-2/3e^-a/3 ;
Le point A ( a ; f(a) =2e^-a/3 ) appartient à la tangente.
Equation de la tangente : y = -2/3e^-a/3 x+b.
2e^-a/3 = -2a/3e^-a/3 +b.
b = 2e^-a/3+2a/3e^-a/3 =2e^-a/3 (1+a/3).
y = -2/3e^-a/3 x+2e^-a/3 (1+a/3).
Intersection avec l'axe des abscisses : y = 0.
2/3e^-a/3 x=2e^-a/3 (1+a/3).
x=3(1+a/3 )= a+3.
2. Expliquer la construction de la tangente à la courbe C au point B d'abscisse -2.
x = a = -2 ; f(-2) = 2e^2/3 ;
La tangente coupe l'axe des abscisses en x = a+3 =-2+3 = 1.