CESTA
PUNTA, mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, énergie, bac
septembre 2021.
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La
pelote basque est un sport de balle se pratiquant à main nue, avec une
raquette en bois ou avec un chistera (gant en osier). La
cesta punta est une des spécialités de la pelote basque. Le jeu
consiste à renvoyer la balle servie par l’adversaire avec un chistera
sur le mur appelé le fronton.
Le service s’effectue sur un terrain rectangulaire sur lequel des
lignes de référence sont tracées. Le service s’effectue à 36 mètres du
mur, il est réussi lorsque la balle, après avoir rebondi contre le mur,
retombe entre les lignes 4 et 7.
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni du repère (Ox ;
Oy), une balle supposée ponctuelle est envoyée par un joueur depuis un
point M0 de coordonnées x0 = -D et y0 = h. Grâce à son chistera, le joueur lance la balle à une vitesse initiale de norme v0 dont le vecteur v0
forme un angle α avec l’horizontale. Le mouvement de la balle
s’effectue dans le champ de pesanteur ; on néglige l’influence de l’air.
Le moment où la balle quitte le chistera est choisi comme origine des dates : t0 = 0 s.
Le but de cet exercice est d’étudier, à l’aide du modèle de la chute
libre, le mouvement de la balle afin de prévoir si le service est
réussi. Le mouvement est décomposé en deux phases : avant puis après le
rebond sur le mur.
Données :
D = 36 m ;
masse de la balle : m = 126 g ;
valeur mesurée à l’aide d’un radar de la vitesse initiale de la balle : v0 = 36,2 m·s-1 ;
α = 12° ;
intensité de la pesanteur : g = 9,81 m·s-2.
1. Mouvement de la balle avant le rebond sur le mur.
1.1. Indiquer
l’information de l’énoncé permettant de formuler l’hypothèse que le
mouvement de la balle s’effectue dans le cadre du modèle de la chute
libre.
" on néglige l’influence de l’air".
En absence de frottements, la balle n'est soumise qu'à son poids.
1.2. En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l’équation horaire du mouvement de la balle selon l’axe Ox est :
x(t) = v0 × cos(α) t - D.
Coordonnées du vecteur accélération : 0 ; -g.
Vecteur vitesse initiale : v0 × cos(α) ; v0 × sin(α)
Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération : vx = v0 × cos(α) ; vy = v0 × sin(α) -gt.
Vecteur position initiale : -D ; h.
Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse : x = v0 × cos(α) t - D.
1.3. Montrer que la balle frappe le mur à la date tF = 1,0 s.
0=36,2 x cos(12) tF-36 ; 0 = 35,4 tF-36 ; tF = 36 /35,4 =1,0 s.
2. Étude énergétique de la balle avant le rebond sur le mur.
2.1. Rappeler les expressions littérales de l’énergie cinétique Ec, de l’énergie potentielle de pesanteur Epp et de l’énergie mécanique Em
de la balle. L’énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle à
l’ordonnée y = 0 m. On note v la norme du vecteur vitesse de la balle.
Ec = ½mv2 ; Epp = mgy ; Em = ½mv2 +mgy.
2.2. Calculer la valeur de l’énergie cinétique Ec à la date t = 0 s.
½mv02 = 0,5 x0,126 x36,22~82,6 J.
2.3. En explicitant votre raisonnement, identifier pour chaque courbe de la figure 2 la forme d’énergie correspondante.
Courbe 3 : l'énergie pottentielle de pesanteur croît, passe par un maximum, puis décroît.
Courbe 2 : l'énergie cinétique ( 52,6 J initialement ) décroît, passe par un minimum, puis croît.
Courbe 1 : énergie mécanique constante ( absence de frottements) , somme des énergies cinétique et potentielle.
2.4. À l’aide de la figure 2, évaluer la valeur de la hauteur H de la balle lorsqu’elle touche le mur au point F.
Epp = 6 J.
6 = mgy ; 6 = 0,126 x9,81 y ; y =6 / 1,236 = 4,9 m.
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3. Mouvement de la balle après le rebond sur le mur.
La balle rebondit sur le mur en F. On fait l’hypothèse que la balle repart à la vitesse vF = 35 m·s–1.
L’instant du rebond est choisi comme nouvelle origine des dates dans cette partie.
La balle, après avoir rebondi contre le mur, doit retomber entre les
lignes 4 et 7 pour que le service soit réussi. Si la ligne 4 n’est pas
dépassée, le point est acquis à l’adversaire. Si la ligne 7 est
dépassée, le joueur a droit à un second et dernier service.
Le mouvement de la balle est étudié dans le référentiel terrestre
supposé galiléen muni du repère (Ox ; Oy) défini sur la figure 1.
L’étude de ce mouvement permet d’établir les équations horaires de la
balle :
x(t) = – 34,9 t et y(t) = – 4,9 t 2 – 2,4 t + 4,9
avec x et y exprimés en mètre et t en seconde.
3.1. Évaluer la valeur de la vitesse vF à partir des équations horaires de la balle. Comparer avec la valeur donnée ci-dessus.
vx(t)= -34,9 ; vy(t) =-9,8t-2,4.
vx(t=0)= -34,9 ; vy(t=0) =-2,4.
v= (vx2 + vy2)½ =((-34,9)2 + (-2,4)2)½ ~35 m /s, en accord avec la valeur donnée.
3.2. Interpréter la valeur du coefficient du terme en t2 dans l’expression de y(t). Préciser son unité.
Accélération de la pesanteur / 2, exprimée en m s-2.
À l’aide des équations horaires, on établit que l’équation cartésienne de la trajectoire de la balle est :
y = – 4,0.10–3 x 2 + 6,9.10–2 x + 4,9 avec x et y exprimés en mètre.
3.3. Le service effectué est-il réussi ?
0= – 4,0.10–3 x 2 + 6,9.10–2 x + 4,9.
x2-17,25x- 1225=0.
Discriminant D =17,252+4 *1225=5197,56 =72,12.
Solution négative retenue : x = (17,25-72,1)/2= -27,4.
Cette valeur étant comprise entre -28 et -16 m, le service est réussi.
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