Circuit RC série : un système de détection de passager.

1. Etude d'un capteur de pression capacitif " artisanal".

1.1- Justifier l'adjectif " capacitif ".
Deux feuilles métalliques séparées par un isolant constituent un condensateur. La capacité est la caractéristique d'un condensateur.
1.2- Donner l'expression de la charge Q_A de l'armature en fonction de la capacité C et de U_AB.
L'armature A porte la charge positive Q_A = C U_AB.
L'armature B porte la charge négaitive Q_B= -C U_AB.
1.3- Indiquer , en justifiant, le sens de variation de la capacité C du capteur lorsqu'un objet est posé sur le condensateur artisanal.
C = eS / e ; S : surface d'une armature ; e : épaisseur de l'isolant ; e : constante caractéristique de la feuille de papier isolante.
e et S restent constants ; e diminue ; la capacité C augmente.

Modélisation du circuit de la chaine de mesure.
La détection de la variation de la capacité C est réalisée par un circuit appellé chaine de mesure.

Le condensateur modélise le capteur de pression artisanal.
On considère que l'interrupteur est en position 1 depuis un temps très long et que E, R et C sont constants. A la date t=0, u_c(0) = E et l'interrupteur est basculé en position 2.
2.1. Etablir l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension u_c(t).
Additivité des tensions : 0 = u_R + u_c.
u_R = R i ; i = dQ_A / dt = C du_c/dt.
0= RC du_c/dt + u_c.
On pose t = RC ; du_c/dt + u_c / t = 0.
2.2- Vérifier que u_c(t) = A exp(-t / t) et exprimer A en fonctionde E.
du_c/dt = -A / t exp(-t / t).
Repport dans l'équation différentielle : -A / t exp(-t / t) +A/ t exp(-t / t) =0 est vérifiée quelque soit le temps.
u_c(0) = E = Ae⁰ = A.
2.3. Montrer que le condensateur est déchargé à t = 5t.
u_c(5t) = E exp(-5)=0,0067 E, valeur inférieure à 0,01 E.
On considère que le condensateur est déchargé lorsque u_c(t) est inférieure à 1 % de sa valeur initiale.

Test expérimental de la chaine de mesure.
Dans le circuit précédent la commutation est réalisée automatiquement par un microcontroleur.
Un premier essai est conduit sans qu' aucune pression ne soit exercée sur le capteur. Le microcontroleur mesure la tension u_c(t) au cours du temps.
Un second essai est réalisé au cours duquel une masse ( un verre rempli d'eau) est posé sur le capteur. Le microcontroleur mesure la tension u_c(t) au cours du temps.
E = 5 V ; R = 10 MW; e = 1,0 10^-4 m.
La date t=0 correspond au passage du commutateur de la poosition 1 à 2.
3.1- Associer la courbe à la bonne série de mesures. Justifier.

La constante de temps RC croît si la capacité augmente ( si e diminue ), R restant constant.
Après l'équivalence, Ag⁺ est en excès et on ajoute des ions nitrate : la conductivité de la solution croît rapidement.
3.2- Déterminer la variiation d'épaisseur De, après avoir évalué la varaition de capacité DC.
RC₁ = 0,115 ; RC₂ =0,145 ; RC₂-RC₁ = 0,030 ;( RC₂-RC₁ ) / R =DC= 0,030 / 10⁷ = 3,0 10^-9.
C = t₁ / R =0,115 / 10⁷ = 11,5 10^-9.
DC / C = 3,0 / 11,5 =0,26.
De / e = DC / C =0,26 ; De =0,26 x1,0 10^-4 = 2,6 10^-5 m.