Mathématiques, bac STI2Det STL Antilles 2020.

Exercice 1. QCM. Une seule des 4 réponses proposées est exacte.
1. On donne le tableau de variation d'une fonction f définie et dérivable sur R. On note C sa courbe représentative et f ' sa dérivée.

On a ;
a. f '(0) = 5. Faux. ( f (0) = 5).
b. Si x < 0 alors f '(x) < 0. Faux.
Si x < 0, f(x) est croissante et donc f '(x) > 0.
c. La courbe C admet une asymptote parallèle à l'axe des abscisses. Vrai.
Quand x tend vers moins l'infini, alors f(x) tend vers -2.
d. La courbe C admet une asymptote parallèle à l'axe des ordonnés. Faux.

2. Pour tout réel strictement positif b le nombre ln(b^-3) est égal à :
a. -3b.
b. -3 ln(b). Vrai.
c. (ln(b))^-3.
d.1 /(ln(b³).
ln(b^-3) = -3 ln(b).

3. Soit x un nombre réel. On considère le nombre complexe z dont la partie réelle est x et dont la partie imaginaire est 3. La partie imaginaire de z² est égale à : a. 6. ; b. 9 ; c. 6x Vrai ; d. (6x)i.
z = x +3i ; z² =(x+3i)² = x² +(3i)² +6xi =x² -9+6xi.

4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. Les points A, B et C ont pour affixes respectives z_A = exp(i 2p/3),
z_B = exp(i 4p/3) et z_C = 2 exp(i 2p/3). Le graphique correct est :

Réponse c.

Exercice 2.
Une compagnie aérienne annonce qu'elle souhaite améliorer sa rentabilité, tout en surveillant la fiabilité de ses appareils et en garantissant la satisfaction de ses passagers.
Partie A. Rentabilité.
1. La compagnie étudie le taux de remplissage de ses avions. Ce taux est modélisé par la variable aléatoire R suivant la loi normale de moyenne µ =0,85 et d'écart type s = 0,05.
a. Donner P(R < 0,85).
P(R < 0,85) = 0,500.
b. Déterminer la probabilité que le taux de remplissage d'un avion soit compris entre 0,8 et 0,9.
P(R < 0,8) = 0,158655 ; P(R < 0,9) = 0,841345 ;
P(0,8 < R < 0,9) =0,841345 - 0,158655 ~0,683.
2. On considère que, pour un passager ayant acheté un billet, la probabilité de se présenter à l'embarquement pour ce vol est 0,96. La compagnie décide de pratiquer la surréservation. Pour cela elle vend 250 billets pour un vol dans un avion ne contenant que 246 places. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de passagers se présentant à l'embarquement pour ce vol.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 250 et p = 0,96.
a. Déterminer l'espérance de la variable X et interpréter.
µ = np = 250 x0,96 =240.
En moyenne, 240 personnes se présentent à l'embarquement.
b. Donner la probabilité qu'au moins 247 passagers se présentent à l'embarquement.
P (X < 247) ~0,998.

Partie B. Fiabilité.
A la suite d'une visite de maintenance, la compagnie décide de remplacer un composant électronique de la sonde de température par un nouveau composant plus fiable.
On admet que le temps de fonctionnement avant panne de ce nouveau composant, exprimée en années, est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre l = 0,025.
1. Déterminer le temps moyen de fonctionnement avant panne de ce nouveau composant.
µ = 1 / l = 1 / 0,025 =40 années.
2. Calculer P(T < 40).
P(T < 40) = 1 -exp(-0,025 *40) = 1-0,3679 ~0,632.
3. La prochaine visite de maintenance pour cet avion est prévue dans 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant électronique ne subisse pas de panne avant le prochaine visite.
1-P(T < 2) = exp(-0,025 *2) = 0,951.

Partie C. Satisfaction des passagers.
La compagnie affirme que 90 % des passagers sont satisfaits. Une association de consommateurs procède à une enquète indépendante auprès de 450 passagers et constate que 63 clients sont mécontents. Au seuil de 95 %, peut-on mettre en doute l'affirmation de la compagnie ? Justifier.
n = 450 ; p = 0,90 ; [ p(1-p) / n ]^½= (0,9 x0,1 / 450)^½ =0,0141.
1,96 x[ p(1-p) / n ]^½=1,96 x0,0141 ~0,0278.
0,90 -0,0278 ~0,872 ; 0,90 +0,0278 ~0,928.
Intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % : [0,872 ; 0,928 ].
Fréquence observée :1- 63 / 450 = 0,86.
La fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation. On peut mettre en doute l'affirmation de la compagnie.