Satellites Starling, nuisances sonores d'un drône, refroidissement d'un bloc de métal, spécialité SI 2021.

Déploiement des satellites Starlink.
Ce projet vise à fournir un accès Internet à la totalité de la population mondiale grâce à une flotte de plusieurs milliers de satellites, plats et compacts, ils n'utilisent qu'un seul panneau voltaïque. Ils sont dotés de 4 antennes puissantes, assurant un fort débit.
D'après Starlink.com, wikipédia et futura-sciences.
Ils sont transportés dans une fusée Falcon 9, puis déployés les uns derrière les autres à une altitude d'environ 400 km. Ils rejoignent ensuite leur orbite finale en utilisant leur propulseur ionique.
L'exercice porte sur l'étude du mouvement d'un satellite Starlink.
Les satellites sont largués de manière à se suivre les uns derrière les autres. Ils forment ainsi dans le ciel un segment de points lumineux appelé "train". On suppose pour simplifier que le mouvement des satellites est rectiligne uniforme pendant la durée d'observation. Le cercle blanc identifie la tête du train.
1. Exploiter les clichés pour estimer la valeur de la vitesse de le tête du train.

80 km parcourus en 10 s soit 80 / 10 = 8 km / s = 8 10³ m /s..
2. Dans le référentiel géocentrique, le mouvement d'un satellite est circulaire, de rayon r, à la vitesse v.
Faire figurer la base de Frenet et donner l'expression du vecteur accélération dans ce repère.
3. Etablir que le mouvement circulaire est uniforme.
4. Donner l'expression de sa vitesse.

Calcul de la vitesse pour une altitude h= 380 km.
r = R_terre + h = 6371 + 380 = 6751 km = 6,751 10⁶ m.
M_terre = M = 5,97 10²⁴ kg ; G = 6;67 10^-11 SI.
v² = GM / r =6,67 10^-11 x5,97 10²⁴ / (6,751 10⁶)=5,89 10⁷ .
v = 7,68 10³ m /s.
5. Proposer au moins une raison permettant d'expliquer un éventuel écart entre les valeuurs trouvées aux questions 1 et 4.
Ecart relatif : ( 8-7,68) / 7,68 ~0,04 ( 4 %).
L'orbite du satellite n'est pas parfaitement circulaire.
Au cours de sa révolution, un satellite n'utilise pas son propulseur, son mouvement est simplement assujetti à la gravitation et il vérifie la 3^è loi de Kepler.
T² = 4 p² /(GM) r³ avec T sa période et r, rayon de l'orbite.
6. Rappeler les conditions pour qu'un satellite soit géostationnaire. Indiquer si le satellite Starlink est géostationnaire.
Le plan de l'orbite doit être le plan équatorial terrestre et le rayon de l'orbite vosin de 42 000 km.
Le satellite Starlink n'est pas géostationnaire.

Le propulseur est un propulseur au krypton, moins performant que le propulseur au xénon, mais dix fois moins coûteux.
Le système ( satellite et équipement ) subit une force appelé force de poussée liée à l'éjection des atomes par le propulseur.
7. Comparer la force ionique électrostatique exercée sur un ion krypton Kr⁺ avec celle exercée par les mêmes grilles portées au mêmes potentiels sur un ion xénon Xe⁺.
Masse des atomes : xénon : m_Xe = 2,2 10^-25 kg ;
krypton : m_Kr = 1,4 10^-25 kg.
La charge des ions étant la même ; les grilles étant portées au mêmes potentiels :
La force ionique électrostatique exercée sur un ion krypton Kr⁺ est identique à celle excercée sur un ion xénon Xe⁺.

On considère que le nombre d'ions xénon éjectés par seconde est identique à celui d'ions krypton.
8. En raisonnant sur les masses des ions d'une part et sur les masses des carburants d'autre part, discuter qualitativemennt l'intérêt de l'utilisation d'un moteur au xénon par rapport à un moteur au krypton.
L'argon et le krypton ont des énergies de première ionisation plus élevées que celle du xénon.
De plus l'argon et le krypton ont une masse atomique inférieure à celle du xénon.
L'énergie cinétique acquise par l'ion à la sortie des grilles est proportionnelle à la masse de cet ion.

Influence d'un écoulement d'air sur le refroidissement d'un bloc de métal.
On mesure au cours du temps l'évolution de la température intérieure d'un cylindre de cuivre suspendu à l'air libre, avec et sans ventilation.
le bloc de cuivre préalablement chauffé en énviron 50 °C est suspendu à un fil. Une sonde mesure la température à l'intérieur. Un ventilateur est posé à proximité du bloc de cuivre. La température de la pièce est environ 20 °C.
Selon le mode de fonctionnement du ventilateur, on obtient les résultats suivants.

Modélisation du flux thermique au cours du refroidissement.
Le cylindre est le système d'étude. Sa variation d'énergie interne entre les instants t et t+Dt très proches est U(t+Dt)-U(t) = h S (T_ext-T(t))Dt.
S : aire de la surface extérieure du cylindre, T_ext : température de la pièce ; t(t) température du cylindre de cuivre et h le coefficient conducto-convectif.
Masse du cylindre m = 177 g ; hauteur du bloc l = 3,0 cm ; rayon du cylindre : R = 1,5 cm ;
capacité thermique du cuivre C = 385 J kg^-1 K^-1.
1. Associer, en justifiant, chacune des courbes 1, 2 et 3 à la situation correspondante :
a : absence de ventilation.
La convection autour du cuivre est faible, le bloc se refroidit lentement (courbe 3).
b : ventillation modérée.
L'air frais ( 20°C) est renouvelé autour du bloc, la température de celui-ci diminue plus rapidement ( courbe 2).
c. ventilation forte.
L'air frais ( 20°C) est renouvelé rapidement autour du bloc, la température de celui-ci diminue trés rapidement ( courbe 3).
2. Proposer une interprétation physique du coefficient h et prévoir la situation pour laquelle sa valeur est la plus élevée.
Ce coefficient quantifie le transfert de chaleur réalisé par un phénomène de convection au sein d'un fluide en mouvement contre une paroi chaude ou froide.
Ce coefficient est plus élevé pour une convection forcée ( ventilation) que pour une convection naturelle.
3. En appliquant le premier principe de la thermodynamique au bloc de cuivre entre les instants t et t +Dt et en se plaçant à la limite Dt --> 0, établir l'équation différentielle qui caractérise l'évolution temporelle du système :
dT(t) / dt = h S / (mC)(T_ext-T(t)).
Variation d'énergie interne du cuivre :
U(t+Dt)-U(t) = h S (T_ext-T(t))dt = m c dT(t).
On pose C = m c exprimé en J K^-1.
dT(t) / dt = h S / C (T_ext-T(t)).

4. Déterminer en justifiant si l'affirmation suivante est correcte.
" A un instant donné, plus l'écart de température entre le bloc et l'extérieur est important, plus il se refroidit lentement".
Le flux thermique est proportionnel à la différence de température T(t) - T_ext. l'affirmation est fausse.
5. On définit la grandeur t = C /(hS).
Déterminer la dimension de t.
C : J K^-1 ; h : W m^-2 K^-1 ; S m² ;
C / (hS) : J W^-1 avec W = J s^-1.
t s'exprime en seconde.
6. La solution de l'équation différentielle s'écrit :
T(t) = T_ext +(T(0)-T_ext)e^{- t / t}.
Proposer une interprétation physique de t. Commenter l'allure de la courbe 1 ( valeur de T(0), valeur de T_ext, signe de de la pente et évolution de la pente).
t est la constante de temps, caractérisant la rapidité d'évolution de la température du cuivre.
T(0) = 50 °C ; T_ext ~20°C.
La pente de la tangente à la courbe est négative ; cette pente diminue au cours du temps.
7. Déterminer la valeur du coeficient h de la courbe 1. Décrire son évolution pour les courbes 2 et 3.
dT(t) / dt = - (T(0)-T_ext) / t e^{- t / t} = -30 / t e^{- t / t} .
A l'intant initial, la pente de la tangente est égale à : -30 / t .
Courbe 1 : t = 160 s ; | pente | =30 / 160 ~0,19.
mc / (hS) = 0,19 ; h = mc /( t S).
S = 2 p R l =6,28 x1,5 10^-2 x 3 10^-2 =2,8 10^-3 m².
mc = 0,177 x 385 ~68,1 J K^-1.
h = 68,1 /(160 x2,8 10^-3)=1,5 10² W m^-2 K^-1 .
Courbe 2 : t = 400 s ; | pente | =30 / 400 ~0,075.
h = 68,1 /(400 x2,8 10^-3)=61 W m^-2 K^-1 .