Le radar de vitesse : effet Doppler. Concours CAPLP 2018.

Afin de contrôler la vitesse des skieurs, une piste dispose d'un radar dont le fonctionnement est basé sur l'effet Doppler. Afin d'en comprendre le principe, l'enseignant propose la photographie d'une cuve à ondes lorsque la source vibratoire est en déplacement de droite à gauche. On étudie la modification de la longueur d'onde due au mouvement de la source vibratoire.
On note l la longueur d'onde de la source au repos et l' la longueur d'onde perçue par un observateur lorsque la source s'en rapproche et l" lorsqu'elle s'en éloigne.

73. Faire apparaître l' et l" et estimer leurs valeurs.

l' = 5 / 6 ~0,83 cm = 8,3 10^-3 m ; l" = 10 / 6 ~1,67 cm = 1,67 10^-2 m.
74. Soit c_s la célérité de l'onde à la surface de l'eau et v_s la vitesse de la source.
Montrer que l' = (1-v_s /c_s) l et l" = (1+v_s /c_s) l .
Un émetteur d'onde sinusoïdale ( sonore ou lumineuse ) se déplace selon ( Ox ) à une vitesse v_em par rapport à un émetteur fixe situé au point O d'un référentiel R₀. L'émetteur émet une onde de fréqience f_em qui se propage avec une célérité v_onde >>| v_em |.

Soit f₀ la fréquence de l'onde perçue par le récepteur placé en O dans R₀
Hypothèses : l'émetteur émet des bips à la fréquence f_em = 1 / T_em ;
A t=0, le récepteur se trouve à la distance d₀ de l'émetteur ; l'émetteur émet un premier bip.
Le récepteur reçoit ce premier bip à la date t₁ = d₀ / v_onde.
A la date T_em, l'émetteur se trouve à la distance d = d₀ +v_em T_em et il émet un second bip.
Le récepteur le reçoit à la date t₂ = d / v_onde + T_em.
t₂-t₁ =(v_em T_em +T_em ) / v_onde.
Période de réception du signal : T₀ = t₂-t₁ =v_em T_em v_onde+T_em= T_em ( 1 +v_em / v_onde).
Fréquence : f₀ = f_em / ( 1 +v_em / v_onde)~f_em ( 1 -v_em / v_onde).
v_em = v_s et v_onde = c_{s ;}
l"=c_s / f₀ ; l=c_s / f ; c_s / l" =c_s / ( l ( 1 +v_s / c_s)).
1 / l" =1 / ( l ( 1 +v_s / c_s)).
l" =l ( 1 +v_s / c_s).

75. En déduire les expressions de v_s et c_s en fonction de l', l" et de la fréquence f_s de l'onde de surface. Faire les applications numériques.On donne f_s = 35 Hz.
l = c_s / f_s ; l' = (1-v_s /c_s)c_s / f_s =c_s / f_s -v_s / f_s ; l' f_s =c_s-v_s (1).
l" f_s =c_s+v_s (2)
(1)+(2) donne : 2c_s =( l' + l" ) f_s.
(2)-(1) donne : 2v_s =( l" - l' ) f_s.
c_s =0,5 x35 x(8,3 10^-3 +1,67 10^-2) ~0,44 m /s.
v_s =0,5 x35 x(1,67 10^-2-8,3 10^-3 ) ~0,15 m /s.
76. Proposer une autre expérience permettant de mettre en évidence l'effet Doppler. Préciser le matéiel et le protocole.
On réalise un dispositif expérimental constitué :
- d'un petit buzzer émettant une onde sonore monochromatique de fréquence 4 khz ( dans son référentiel ) ;
- d'une potence à laquelle est fixée une tige horizontale immobile ;
- d'un fil dont l'une des extrtémités est reliée au buzzer et l'autre à l'extrémité de la tige horizontale. Le dispositif peur alors osciller à la manière d'un pendule simple ;
- un micro posé sur la table et relié à une carte d'acquisition.

Le professeur réalise une vidéo du mouvement puis une acquisition par pointage, des positions successives du buzzer initialement lâché avec un angle d'environ 45 °.

Le radar de la piste émet des ondes électromagnétiques de fréquence f = 34 GHz. Au passage du skieur arrivant face à lui à la vitesse v, il mesure un écho dont la fréquence est décalée de Df = 2,2 kHz.
77. Quelle condition vérifiée par la vitesse du skieur v permet de simplifier l'expression en v = c Df / (2f) où c = 3,0 10⁸ m/s. En déduire la vitesse du skieur.
La fréquence reçue par l'émetteur récepteur, après deux décalage Doppler consécutifs est :
f ' = (1+v / c) / (1-v /c) f.
v / c << 1 : f ' ~(1+2v / c) f ; f ' -f ~2v / c f ;
v = c Df / (2f) =3,0 10⁸ x 2,2 10³ / (2 x34 10⁹) = 9,7 m /s ou 9,7 x3,6 ~35 km / h.