Mathématiques, école de santé des armées ESA 2021.

Exercice 1. (6 points)
Une seule affirmation est exacte. Aucune justification n'est demandée. Réponse juste = 1 point ; réponse fausse = -0,25 point. Absence de réponse = 0 point.
QCM 1.
Les solutions réelles de l'équation 3 (ln(x))² +2 ln(x) -5 =0.
On pose X = ln(x) strictement positif ;
3X²+2X-5 = 0 ; discriminant D = 2²+4*5*3=64 = 8².
Solution retenue X = (-2 +8) / 6 =1 ln(x) = 1 soit x = e.
A. {1 ; -5 /3} ;
B. { e ; e^-5/3} .
C. { e^-5/3}.
D. { e}. Vrai.

QCM 2.
Les solutions réelles de l'inéquation (e^x-1)(1-x) > 0 sont :
e^x = 1 soit x = 0 et x = 1.

A. ] -oo ; 1 ].
B. [0 ; 1 ] vrai.
C. [0 ;+oo[
D. ] -oo ; 1 ] u [1 ;+oo[ .

QCM 3.
Les solutions réelles de l'inéquation ln(-x+5) < ln(x+1) sont :
-x+5 >0 soit x < 5 et x+1 > soit x > -1.
ln(x-5) -ln(x+1) < 0 ; ln(x-5) /(x+1) < 0.

X appartient à ]-1 ; 0[ union ]4 ; 5[.
A. ]2 ; +oo[
B. ]-oo ; 5[
C. ]-1 ; 5[ vrai.
D. ]2 ; 5 [.

QCM 4.
La limite de (x²+1)^½-(x²-1)^½ en plus l'infini est :
x(1+1/x²)^½-x(1-1/x²)^½ = x [(1+1/x²)^½-(1-1/x²)^½ ].
A. +oo
B. 1.
C. 0. Vrai.
D. 2.

QCM 5.
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x exp(x²-1), alors :
On pose u = x et v =exp(x²-1) , u' = 1 et v' = 2x exp(x²-1)
u'v+v'u = exp(x²-1) +2x² exp(x²-1) =(1+2x²)exp(x²-1)
A. f '(x) = exp(x²-1).
B. f '(x) = 2x exp(x²-1).
C. f '(x) = (1+2x²)exp(x²-1). Vrai.
D. f '(x) = 2x²exp(x²+1).

QCM 6.
Indication : calculer la dérivée de h(x) =x sin x + cos x.
h '(x) = sin x +x cos x -sin x = x cos x ; h(x) est une primitive de x sin x+ cos x.
L'intégrale I ci-dessous est égale à :

Réponse B.

Exercice 2. ( 6 points).
Pour les QCM 7 et 8, on considère une population dont 5 % est touchée par une maladie.
QCM 7.
On considère de manière aléatoire et indépendante deux personnes de cette population. Soit l'événement A : " aucune personne n'est malade". La probabilité de A est égale à :
Epreuve de Bernoulli ; loi binomiale de paramètre n = 2; p = 0,05 ; q = 1-p = 0,95.
P (X =0) =0,9025.
A. 0,9025. Vrai.
B. 0,0025.
C. 0,9975.
D. 0,1.

QCM 8.
On sait que la probabilité qu'une personne ait un test positif à cette maladie, sachant qu'elle est malade, est 0,8. D'autre part, la probabilité d'avoir un test positif pour une personne de cette population est 0,1. La probabilité que la personne soit malade sachant qu'elle a un test positif est égale à :
A. 0,8.
B. 0,01.
C. 0,4. Vrai.
D. 0,04.

QCM 9.
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = e^2x +3x-1 et C sa courbe représentative. La tangente à C au point d'abscisse 0 a pour équation :
f '(x) = 2e^2x+3 ; coefficient directeur de la tangente : f '(0) =5.
Equation de la tangente y =5 x+b.
La tangente passe par le point decoordonnées x =0 ; f(0) =0 ; b = 0.

A. y = 5 x-1.
B. y = 5x. Vrai.
C. y = 4x.
D. y = 5x+3.

QCM 10.
Soit la suite réelle (u_n) définie par : u₀ = 1,5 et u_n+1 = 2u_n-1.
A. La suite (u_n) converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équations y = x et y = 2x-1. Faux.
u₁ = 2*1,5-1 =2 ; u₂ = 2*2-1 =3 ; u₃ = 2*3-1 =5.
B. La suite (v_n) définie par v_n = u_n-1 est géométrique. Vrai.
v_n+1 = u_n+1-1 = 2u_n-2 = 2(u_n-1)=2 v_n.
La suite (v_n) est géométrique de raison 2 et de premier terme 0,5.
C. La suite (u_n) est majorée. Faux.
D. La suite (u_n) est décroissante. Faux.

QCM 11.
Soit la suite (u_n) définie par u_n = n²-10n+1.
A. La suite converge vers 1.
B. La suite diverge vers plus l'infini. Vrai.
C. La suite converge vers zéro.
D. La suite diverge vers moins l'infini.

QCM 12.
La solution y de l'équation différentielle 2y'-y=3 vérifiant y(0) =-1 est définie par :
A. y(x) =e^2x-2.
B. y(x) =2e^0,5x-3. Vrai.
C. y(x) =2e^0,5x-1.
D. y(x) =e^2x-3.
Solution générale de 2y'-y=0 : y = A e^0,5x avec A une constante.
Solution particulière de 2y'-y=3 : y = -3.
Solution générale de 2y'-y=3 : y = A e^0,5x -3.
y(0) =A-3 = -1 ; A = 2.
y = 2e^0,5x-3.