Physique : téléobjectif, chute d'une goutte, turbine à gaz.  Concours externe TSPEI 2019. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. .. .. . . ...... ..... Optique. Image d'un objet par une lentille convergente. Une lentille convergente L1 de centre optique O1 a une distance focale f '1 = +8,0 cm. Un objet AB vertical de hauteur 0,5 cm situé à p1 = mesure algébrique OA = -14,0 cm de la lentille. 1. a. Déterminer la vergence C1 de cette lentille. C1 = 1 /f '1 = 1 /0,08 =12,5 dioptries. 1.b. Placer les foyers objet et image F1 et F'1 et construire l'image A'B' de AB. 1.c. Déterminer graphiquement O1A' et A'B'. 1.d. Retrouver ces valeurs par le calcul. 1.e. Calculer le grandissement de ce système. Téléobjectif. Pour constituer un téléobjectif, on associe sur le même axe optique la lentille L1, avec une lentille mince divergente L2, de centre optique O2 et de distance focale f '2 = -4,0 cm. Mesure algébrique O1O2 = e = 5,0 cm. 1.2.a. Faire un schéma de la situation. 1.2.b Définir le foyer image d'un système optique. Les rayons lumineux issus d'un objet à l'infini converge, après traversée du système, en un point appelé foyer image. Cette combinaison peut être considérée comme un système optique unique possédant deux foyers F et F' appelés foyers résultants, de distance focale f ' = - f '1 f '2 /(e-f '1- f '2). 1.2.c. En utilisant les relations de conjugaison des deux lentilles, exprimer O2F ' en fonction de f '1, f '2 et e. Calculer sa valeur. L'image intermédiaire A' B' sert d'objet virtuel pour la seconde lentille. 1.2.d En déduire l'encombrement total O1 F' du téléobjectif. 1.2.e. Calculer f '. f ' = -8,0 x (-4,0) / (5,0 -8,0 +4,0)= 32 cm. 1.2.f. Quel est l'avantage d'un téléobjectif par rapport à une distance focale f '. Moindre encombrement. A l'aide d 'une lentille unique, la distance capteur - lentille serait de 32 cm. On désire prendre une photo d'un immeuble de 20 m de haut situé à 500 m de L1. On suppose que l'image se forme dans le plan focal de L1. 1.2.g. Déterminer la taille A'B' de l'image intermédiaire, puis la taille A"B" de l'image définitive. |g1 |=0,08 / 500 =1,6 10-4 ; taille de A'B' : 20 x1,6 10-4 =3,2 10-3 m = 3,2 mm. |g2 |=0,12 / 0,03 =4 ; taille de A''B'' : 3,2 x4 =12,8 mm. ... .... Mesure de la charge d'un ion. On fait tomber  dans une atmosphère gazeuse, entre les armatures d'un condensateur plan, des petites gouttes de glycérine de masse m. Le mouvement vertical de ces gouttes est observé au microscope. Elles sont soumises à une force résistante de norme f =6 p h R v où R est le rayon de la goutte, h la viscosité du milieu et v la vitesse de la goutte. l'axe vertical d'étude est orienté vers le bas. A l'insatnt initial, la goutte est lâché du ppoint O sans vitesse initiale. R = 2,0 µm ; h = 2,0 10-5 Pa s ; g = 9,8 m s-2. Masse volumique de la glycérine r = 1,25 103 kg m-3. On négligera la poussée d'Archimède. Partie 1.  Condensateur non chargé. 1.a Faire l'inventaire des forces exercées sur la goutte et les représenter. La goutte est soumise à son poids et à la force de frottement. 1.b. Etablir l'équation du mouvement de M en fonction de la vitesse. Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe Oz. m dv /dt = mg-f ; m dv /dt = mg -6 p h R v. dv /dt +6 p h R  / m v = g. 1.c. En supposant que v =A e-at +2gR2r / (9 h) est solution de l'équation différentielle, exprimer a en fonction de R, h et r. Préciser son unité. at est sans dimension, a est l'inverse d'un temps. Les solutions d'une équation différentielle du type y' + by=0 sont de la forme y = B e-bx. a = 6 p h R  / m avec m = 4/3 pR3 r. a = 9  h   / (2R2 r). 1.d. A partir des conditions initiales donner l'expression de A. La vitesse initiale est nulle : 0 = A +2gR2r / (9 h) ; A = -2gR2r / (9 h). 1.e. Donner l'expression et calculer la vitesse limite vlim. dvlim /dt = 0 ; 6 p h R  / m vlim = g. vlim = mg / (6 p h R). m = 4/3 pR3 r. vlim = 2g R2 r / (9 h) =2 x9,8 x (2,0 10-6)2x1,25 103 / (9 x2,0 10-5)=5,4 10-4 m / s. Condensateur chargé. On charge le condensateur en lui appliquant une tension U entre les armatures distantes de d. Puis on ionise les gouttes en faisant passer un faisceau de rayons X entre les plaques. Pour une tension U = VA-VB négative, l'expérimentateur observe une goutte immobile. U = -25 kV et d = 2,0 cm. 2.a Indiquer le sens du champ électrique E ainsi que la force Fél. 2.b. Faire l'inventaire des forces exercées sur la goutte puis exprimer la charge q de la goutte en fonction de m, g, d et U. La goutte est soumise à son poids, à la force de frottement, négligeable dans ce cas, et à la force électrique. La somme de ces deux vecteurs forces est nulle : mg =Fél ;  mg = qE = q|U| / d. q = mgd / |U|. 2.c. Calculer q. Que remarque -t-on ? m =4/3 pR3 r=4 / 3 x3,14 x(2,0 10-6)3 x1,25 103 =4,2 10-14 kg. q = 4,2 10-14 x9,8 x0,02 /(2,5 104) =3,2 10-19 C, soit 2 fois la charge élémentaire e.   Turbine à gaz à combustion interne. Le principe est le même que celui d'une machine à vapeur, sauf qu'au lieu d'entrainer un piston, le fluide sous pression entraine une turbine. Le gaz assimilé à un gaz parfait décrit le cycle suivant : - initialement à l'état 1, pression P1 et température T1, il subit une compression adiabatique réversible jusqu'à l'état 2, pression P2 et température T2. - un réchauffement isobare au contact d'une source chaude jusqu'à l'état 3, pression P3 et température T3. - une détente adiabatique réversible jusqu'à l'état 4, pression P4 et température T4. - refroidissement isobare au contact avec une source froide et retour à l'état 1. 1.a. Quelle est la relation entre P2 et P3 ? Le réchauffement étant isobare ( passage de l'état 2 à l'état 3), P3=P2. 1.b. Tracer l'allure du cycle par le gaz dans le diagramme P = f(V). 2.a. Rappeler la loi de Laplace liant P, V et g pour une tranformation adiabatique réversible pour un gaz parfait. P Vg = constante. 2.b. Montrer que cette loi peut s'écrire : P1-g Tg = constante. PV = nRT ; V = nRT / P ; P (nRT)g / Pg = P1-g Tg = constante. 2.c En déduire les expressions de T2 en fonction de P1, P2, T1 et g  et celle de T3 en fonction de P1, P4, T4 et g. P11-g T1g = P21-g T2g ; T2g = ( P1/P2)1-g T1g  ; T2 =( P1/P2)(1-g) / g T1 . P31-g T3g = P41-g T4g ; T3g = ( P4/P3)1-g T4g  ; T3 =( P4/P3)(1-g) / g T4 . 3. Pour n = 1 mol de gaz parfait, exprimer en fonction de Cpm et des températures adéquates : - Qc chaleur échangée avec la source chaude. - QF chaleur échangée avec la source froide. Qc = Cpm (T3-T2). QF = Cpm (T1-T4). 4. En utilisant le premier principe, exprimer Wcycle, le travail échangé par mole de gaz avec l'extérieur au cours du cycle en fonction de Cpm et des 4 températures. La variation d'énergie interne du gaz est nulle sur le cycle : Wcycle + QC +QF = 0. Wcycle  = - Cpm (T3-T2) -Cpm (T1-T4). 5. Exprimer le rendement théorique en fonction des température. Rendement = valeur absolue du travail récupéré / énergie dépensée à la source chaude. |Wcycle | / Qc = 1-QF / QC = 1- (T1-T4) / (T2-T3). 6. On pose t = P2 / P1. Montrer que le rendement théorique s'écrit : 1 -t (1-g) / g. T4  = T3 ( P3/P4)(1-g) / g  =T3 ( P2/ P1)(1-g) / g  =T3 t (1-g) / g. T1  = T2 ( P2/P1)(1-g) / g  =T2 t (1-g) / g. T1-T4 =(T2-T3) t (1-g) / g. Rendement : 1-t (1-g) / g. 7. Calculer le rendement pour les trois gas du tebleau ci-dessoupour t = 4,0. gaz argon air CO2 g 1,67 1,4 1,31 1/g-1 -0,401 -0,29 -0,24 si r = 4,0 : 1- r(1-g)/g 0,43 0,33 0,28 Le meilleur rendement est obtenu avec l'argon. 8. Pour le gaz possèdant le meilleur rendement,  calculer T2 et T4. P1 = 1,0 105 Pa ; T1 = 300 K ; T3 = 900 K. T2 = T1 t (g-1) / g = 300 x 4,00,401 = 523 K. T4 = T3 t (1-g) / g = 900 x 4,0-0,401 = 516 K.

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