Mathématiques, concours interne ingénieur territorial 2021 En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. .. .. . . .. .. ...... ... Plroblème 2. (3,5 points). Un pont d'une seule arche de longueur 16 m enjambe une route à double circulation. La partie supérieure du pont est à 5 m au dessus du niveau de la route. La partie inférieure du pont est la courbe représentative C d'une fonction f définie sur [-8 ; +8] par f(x) = a-(e0,2x+e-0,2x) /2 avec a réel. C passe par le point de coordonnées (0 ; 4).   1.a. Montrer que a = 5. f(0) = 4 = a-(e0+e0) / 2 = a-(1+1)/2 = a-1 ; a = 5. 1.b. Quelle est la propriété de la fonction f qui correspond à la symétrie de la partie inférieure du pont par rapport à l'axe des ordonnées ? f(x) = f(-x) ; cette fonction est paire ; sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 2.a Montrer que la dérivée  f '(x) = 0,1e-0,2x(1-e0,4x). f '(x) = -0,5 ( 0,2e0,2x-0,2e-0,2x) =0,1(e-0,2x-e0,2x) =0,1 (e-0,2x-e0,4x e-0,2x). f '(x) = 0,1e-0,2x(1-e0,4x). 2.b. Justifier que f est décroissante sur [0 ; 8]. 0,1e-0,2x étant strictement positif, le signe de f '(x) est celui de 1-e0,4x. 1-e0,4x=0 ; e0,4x = 1 = e0  ; 0,4x = 0 soit x = 0. 1-e0,4x < si x > 0.  f '(x) < 0 sur [0 ; 8] et f(x) est décroissante sur cet intervalle. 3. Un camion de 2,5 m de largeur doit passer sous le pont au milieu de la file de droite de la zone  des véhicules motorisés. Quelle doit être la hauteur maximale de ce camion sachant que l'on doit laisser une lauteur de sécurité minimale de 50 cm au dessus du camion. Les bords du camion passent aux abscisses x =0,75 et x = 3,25 m. Hauteur maximale du camion : h = f(3,25)-0,5. f(3,25) = 5-(e0,65+e-0,65) /2 =5-(1,9155 -0;522) / 2 = 5-0,697 ~4,30 m. h = 4,30-0,50 = 3,80 m. 4.a On veut peindre les deux facades de ce pont. Montrer que l'intégrale suivante est égale à 5(e1,6-e-1,6). En déduire que l'aire de la surface à peindre est environ 47,51 m2. Aire d'une face à peindre : 16 x5 -2 x28,12 =23,76 m2. Aire de deux faces : 47,52 m2. 4.b La peinture est vendue par bidon de 30 litres. Cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,3 m2 par litre. Il faut deux couches de peinture. Combien de bidons au minimum sont nécessaires ? Surface de peinture : 2 x47,52 =95 m2. Volume de peinture : 95 / 0,3 ~317 L soit 11 bidons. .... Problème 1. 3 points. Chacune des deux questions suivantes comporte trois propositions. Chacune de ces propositions est vraie ou fausse. Vous devez indiquer sur votre copie la lettre de la proposition avant de signaler si elle est vraie ou fausse.  Pour chaque question, il est possible que les trois propositions soient toutes vraies ou toutes fausses ; le nombre de réponses vraies ou fausses est variable selon les questions.  A chaque réponse correcte est attribué 0,5 point. Question 1. à propos de la fonction f définie sur [0 ; +oo[ par f (x)=ln(2x+3)-x A : La fonction f est croissante, sur [0 ; +oo[. Faux. f '(x) = 2 /(2x+3)-1 = -(2x+1) / (2x+3) < 0 sur [0 ; +oo[ ; f(x) décroissante. B : Le nombre dérivé f '(1) vaut -0,6. Vrai. f '(1) = -3 / 5 = -0,6. C : Un arrondi au centième près de l’intégrale suivante est 0,87. Faux. Question 2. à propos de la suite définie par : u0=1 et un+1 = 0,8un+2  pour tout entier naturel n. D : Tous les termes de la suite (un ) sont positifs. Vrai. un+2 = 0,8un+1+2 ; un+2 -un+1= 0,8 un+1+2-0,8un-2 =0,8(un+1-un). Le signe de un+2 -un+1 est égal au signe de un+1-un. Démonstration par récurrence : Initialisation : u1-u0 = 0,8 > 0, la propriété est vraie au rang zéro. Hérédité : la propriété est vraie au rang n. un+1 -un >0. Or le signe de un+2 -un+1 est égal au signe de un+1-un. un+2 -un+1 >0. Conclusion :La suite (un) est croissante et u0 = 1. E : u4 =3946 / 625. Vrai. u1 = 2,8  ; u2 = 4,24 ; u3 = 5,392 ; u4 = 6,3136 = 3946 / 625.   F : un tend vers plus l'infini si n tend vers plus l'infini. Faux. On pose vn = un-10. vn+1 = un+1-10=0,8 un +2-10 = 0,8(un-10) = 0,8 vn. (vn) suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme -9. vn = -9 *0,8n ; un = vn +10 = -9 *0,8n +10. Quand n tend vers plus l'infini, 0,8 n tend vers zéro et un tend vers 10. Problème 3. 3,5 points. Pour un triangle ABC quelconque dont les longueurs des côtés et les mesures des angles sont notées : BC = a, AC = b, AB = c, a2 = b2 +c2 -2bc cos A. ( formule d'Al-Kashi). a / sin A = b / sin B = c / sin C ( loi des sinus). On considère un triangle ABC de mesures BC = 7, AC = 6, AB = 5. Question 1 (1 point) 1a. Montrer que cos(A) = 1 /5 et cos(B)= 19  / 35. (0,75 point) a2 = b2 +c2 -2bc cos A. cos A = (b2 +c2 -a2) / (2bc) =(62+52-72) / (2 x 5 x 6)=1 / 5. b2 = a2 +c2 -2ac cos B. cos B = (a2 +c2 -b2) / (2ac) =(72+52-62) / (2 x 5 x 7)=38 / 70 = 19 / 35. 1b. En déduire sin(A ) et sin(B). (0,25 point). sin2 A = 1 -cos2 A = 1-1 / 25 =24 / 25. sin A = 24½ / 5. sin2 B = 1 -cos2 B = 1-(19 / 35)2 =864 / 352. sin B = 864½ / 35. La bissectrice de l’angle C coupe le côté [AB] au point I (les deux angles BCI et ACI sont égaux). 2a. En utilisant deux fois la loi des sinus, une fois pour le triangle ACI et une fois pour le triangle BCI, montrer que AI / BI =6 / 7 . (0,75 point) 2b. Donner AI+BI. En déduire AI et BI. (0,5 point) AI+BI = AB = 5. (AI+BI) / BI = (6+7) / 7 ; BI = 7 AB / 13 = 35 / 13. AI = 5-35 /13 = 30 / 13. 2c. Calculer CI. (0,25 point). CI 2= AC2 +AI2 - 2 AI x AC cos A=36+(30 / 13)2-2 x 6 x30 / 13 x 1 / 5 = 36+900 / 169- 72 / 13 =(6084  +900 -936) / 169 =6048 / 169. CI =6048½ / 13. Question 3 (1 point) Le triangle ABC est disposé dans un repère orthonormé du plan comme indiqué sur la figure ci-dessous : Calculer les coordonnées de B, les coordonnées de I, l’aire du triangle ABC et la valeur du rapport aire de AIC / aire de BIC. AB2 = xB2 +yB2=25. BC2 = (6-xB)2 + yB2=49. 49-25 =(6-xB)2 -xB2 =24. 36-12 xB = 24 ; xB = 1 , yB = 24 ½. AI2 =xI2 +yI2=(30 / 13)2. CI2 = (6-xI)2 + yI2=6048 / 169 (6-xI)2 -xI2 =(6048-900) / 169 =5148 / 169. -12xI+36=5148 / 169 ; 12xI =936 / 169 ; xI =78 / 169 = 6 / 13. yI2=900 / 169 -(78 / 169)2 =(900x169 -782) / 1692 =146 016 / 1692= 864 / 169 ;  yI = 864½ / 13. Aire du triangle ABC : AC x yB / 2 = 6 x 24½ / 2 = 3 x24½. Aire du triangle AIC : AC x yI / 2 = 6 x 864½ / 26 = 3 x 864½/ 13 = 3 x 6 x24½/ 13 = 18 x 24½/ 13. Aire du triangle BIC :3 x24½- 18 x 24½/ 13 = 21 x 24½/ 13. Rapport aire de AIC / aire de BIC : 18 / 21 = 6 / 7.

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