Spécialité Mathématiques, classe de première 2021.

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Exercice 1. QCM.
1. Soit f la fonction définie sur R par f(x) =x2+x+1.
Sa fonction dérivée f '(x) est donnée par :
f '(x) = x+1 ; f '(x) =2x+1 vrai ; f '(x) =2x ; f '(x) = 2x2+x.

2.La somme 1 +2+22 +23 +...+210 est égale à :
210-1 ; 210 ; 211-1 vrai ; 211.
Somme des onze premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
S = 1 *(211-1) /(2-1) = 211-1.


3. On considère l'équation x2+2x-8=0. On note S la somme de ces racines et P leur produit.
Quelle affirmation est vraie ?
S=2 et P = -8 ; S = -2 et P =-8 vrai  ; S =-2 et P = 8 ; S = 2 et P = 8.
S = -b / a = -2 /1 = -2 ; P = c /a = -8 /1 = -8.

4. On désigne par C le cercle trigonométrique. Soit x un réel strictement positif et M le point C associé au réel x.

Alors le point M', symétrique de M par rapport à O, est associé au réel :
-x ; p+x vrai ; p-x ; -p-x.
M et M' étant diamétralement opposés, la différence des réles qui leurs sont associés est égale à p.

5. Parmi les égalités suivantes, laquelle est vraie pour tout réel x ?
cos(x+2p) = cos (x) vrai.
sin(-x) = sin (x) ; cos(-x) = - cos(x) ; cos2(x) + sin2(x) = 2.

Exercice 2.
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (2x+1)ex. Sur le graphique, sont représentées la courbe C représentative de la fonction f, et la droite T, tangente à C en x = 0.

1. Déterminer les coordonnées d'éventuels points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.
Il faut résoudre l'équation
f(x) = (2x+1)ex =0.
ex est strictement positif.
2x+1=0 soit x = -½.
2. Montrer que f '(x) = (2x+3)ex.
On pose u = 2x+1 et v = ex ; u' = 2 ; v' = ex.
u'v +v'u = 2ex +(2x+1)ex
(2x+3)ex.
3. Dresser le tableau de signe de f '(x) puis préciser les variations de f sur R..
ex >0, f '(x) a le signe de 2x+3.

4. a. Déterminer l'équation réduite de la tangente T.
Coefficient directeur de la tangente T: f '(0) =3.
Equation de T : y = 3x+b.
Le point de coordonnées (0 ; f(0) = 1) appartient à T : 1 = b ;
Equation réduite de T : y = 3x+1.
4.b. Justifier graphiquement, que pour tout réel x, on a : (2x+1)ex > 3x+1.

D'après le graphique, la courbe C d'équation (2x+1)ex est située au dessus de la tangente T d'équation y = 3x+1, sau f au point de tangence.
Donc (2x+1)ex > 3x+1.

Exercice 3.
Dans une école, 40 % des étudiants sont dans le cycle licence et 60 % dans le cycle de spécialisation.
Parmi les étudiants de licence, 8 % sont dans le BDS ( bureau des sports).
Parmi les étudiants de spécialisation, 10 % sont membres du BDS.
On considère un étudiant de cette école, choisi au hasard, et les événements suivants :
L : l'étudiant est en licence.
B : l'étudiant est membre du BDS.
Partie A.
1.  Compléter l'arbre pondéré représentant la situation
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2. Calculer la probabilité que l'étudiant choisi soit en licence et membre du BDS.
3. Montrer que P(B) = 0,092.


Partie B.
Le BDS décide d'organiser une randonnée. le prix est de 60 € pour les étudiants ne faisant pas partie du BDS et 20 € pour les membres du BDS. On désigne par X la variable aléatoire donnant la somme à payer pour un étudiant qui désire faire la randonnée.
1. Quelles sont les valeurs prises par X.
20 € et 60 €.
3. Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance de X.
Valeurs de X
20
60
P(X)
0,092
1-0,092=0,908
Espérance  E= 20 x0,092 +60 x0,908 =1,84 +54,48 =56,32 €.

Exercice 4.
Bob s'est fixé l'objectif de participer à un marathon. Il programme sa préparation :
20 km lors du premier entraînement puis à chaque entraînement suivant, il augmente sa distance de 5 %.
La distance parcourue est modélisée par une suite (dn) où le nombre dn désigne la distance parcourue en km, lors de son n-ième entraînement. Ainsi d1 = 20.
1. Calculer d2 et vérifier que d3 = 22,05.
d2 = d1 +d1 x0,05 = 1,05 d1 = 1,05 x20 =21.
d3 = 1,05 d2 = 21 x1,05 =22,05.
2. Exprimer dn+1 en fonction de dn.
dn+1 = 1,05 dn.

3. Justifier que pour tout entier naturel n > 1, dn = 20 x1,05n-1.
(dn) est une suite géométrique de premier terme d1=20 et de raison 1,05.
dn = 20 x1,05n-1.
4. Quelle distance, arrondie à 1 m près, va parcourir Bob lors de son 10ème entraînement ?
5. La courbe C et le droite D ont-elles un point commun ? Justifier.
d10 =20 x1,059 =31,027 km.
6.  La distance à parcourir lors d'un marathon est  de 42,195 km. Bob estime qu'il sera prêt s'il parvient à courir au moins 43 km lors de ces entraînenemts. Compléter le script suivant dont la valeur n, après excécution du script, est le nombre minimal d'entraînements permettant à Bob d'être prêt.
n=1
d=20
while d < 43
n =n+1
d=1,05*d

 



  

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