Mathématiques,  E3C première Amérique du Nord 2021.

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Exercice 1, QCM ( 5 points).
Question 1.
Pour tout réel x, e2x+e4x est égal à :
e6x ; e2x(1+e2) ; e3x(ex+e-x)vrai ; exp(8x2).
y = 7(x-1) vrai.; y = x-1 ; y =7x+7 ; y = x+1.
e3x(ex+e-x) = e3x+x +e3x-x.

Question 2.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs suivants de coordonnées respectives (-5 ; 2) et (4 ; 10) ainsi que la droite (d) d'équation 5x+2y+3=0.

Réponse c.

Question 3.
La dérivée f ' de la fonction f définie sur R par f(x) =(2x-1)e-x est :
2xe-x ; -2e-x ; (-2x+3)e-x vrai ; 2e-x +(2x-1)e-x.
On pose u = 2x-1 et v = e-x ; u' = 2 ; v' = -e-x.
u'v+v'u = 2e-x-(2x-1)e-x =
(-2x+3)e-x.

Question 4. Pour tout réel x, on a : sin(p+x) =

- sin(x) vrai ; cos(x) ; sin(x) ; -cos(x).

Question 5.
Soit f une fonction définie et dérivable sur R dont la courbe représentative est donnée. La tangente à cette courbe au point A est la droite T.

f '(0) = 3 ; f '(0) = 1/5 ; f '(0) = 5 ; f '(0) = -5 vrai.
La pente de la tangente en A d'abscisse zéro est égale à -5 : f '(0) = -5.

Exercice 2. 5 points.
La population d'une ville augmente chaque année de 2%. La ville a 4600 habitants en 2010.
La population d'une ville B augmente de 110 habitants par an. B a 5100 habitants en 2010.
1. Calculer le nombre d'habitants de chaque ville fin 2011.
A : 4600 x1,02 =4692.
B 5100+110=5210.
On note un le nombre d'habitants de A et vn le nombre d'habitants de B.
2. Quelle est la nature des suite (un) et (vn) ?
(un) suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme 4600.
(vn) suite arithmétique de raison 110 et de premier terme 5100.
3. Exprimer un en fonction de n. Calculer le nombre d'habitants de A en 2020.
un =4600 x 1,02n. u10 =4600 x1,0210 ~5607.
4.
Exprimer vn en fonction de n. Calculer le nombre d'habitants de B en 2020.
vn =5100 x 110 n. v10 =5100 +1100 =6200.

5. Compléter l'algorithme suivant. Au bout de combien d'année la population de la ville A dépasserat-elle celle de la ville B ?
def année()
u =4600
v=5100
n=0
while u < v :
u = u*1,02
v=v+110
n = n+1.
return n
u32= 8669 ; v32 =8620. Année 2042.

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Exercice 3. (5 points)
Soit h la fonction définie sur [0 ; 26) par :
h(x) = -x3+30x2-108x-490.
1. Exprimer h'(x).
h'(x) =-3x2 +60x-108.
On note C la courbe représentative de h et C' celle de h'.
2. Identifier C et C' en justifiant.
-3x2 +60x-108 =0.
Discriminant D= 602-4*108*3=2304 =482.
Solutions x1 = (-60+48) / (-6) =2 ;
x1 = (-60-48) / (-6) =18.
h'(x) >0 si x appartient à [2 ; 18] et h(x) est croissante sur cet intervalle.

3. Soit T la tangente au point A d'abscisse zéro. Déterminer son équation réduite.
h'(0) =-108.
Equation de T : y = -108x +b.
Le point de coordonnées (0 ; h(0) =-490) appartient à la tangente.
-490 = b; y = -108x-490.
4. Etudier le signe de h'(x) puis dresser le tableau de variation de la fonction h.


Exercice 4. 5 points.
Une entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de 2 sites de production A et B.
A produit les trois-quart des aiguilles et 2 % sont défectueuses.
B produit un quart des aiguilles et 4 % sont défectueuses.
Les aiguilles provenant des deux sites sont mélangées et vendues ensemble par lots.
On choisit une aiguille dans la production et on considère les événements :
A : l'aiguille provient du site A.
B : l'aiguille provient du site B.
D : l'aiguille présente un défaut.
1. Déterminer lP(A) :
P(A) = 0,75.
2. Compléter l'arbre suivant :


3. Quelle est la probabilité que l'aiguille ait un défaut et provienne de A ,
P(A n D) = 0,75 x0,02 = 0,015.

4.
Montrer que p(D) = 0,025.
Formule des probabilités totales.
5. Après inspection, l'aiguille choisie est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de A ?
PD(A) = P(A n D) / P(D) =0,015 / 0,025 =0,6.




  
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